Zelluläre Basen von symplektischen q-Schur-Algebren

Sebastian Oehms, Universität Stuttgart ^{1}

1 Einleitung

Es werden symplektische Schur-Algebren im Sinne von [D2] und [Dt] betrachtet sowie q-analoge Versionen davon, die mit Hilfe der FRT-Konstruktion aus der Theorie der Quantengruppen erhalten werden. Von diesen werden zelluläre Basen im Sinne von [GL] mit Hilfe von “quantensymplektischen Bideterminanten” konstruiert.

2 Symplektische Schur-Algebren

Es sei zunächst an die klassische Definition der Schur-Algebren erinnert. Untersucht man polynomiale Darstellungen der generellen linearen Gruppe GL_{n}(K) über einem unendlichen Körper K, so betrachtet man den Polynomring

A_{K}(n) := K[c_{11}, c_{12}, …, c_{nn}]

mit den Einträgen einer (n × n)-Matrix als den Unbestimmten. Dies ist der Koordinatenring K[M_{n}(K)] des Monoids M_{n}(K) der (n × n)-Matrizen über K und im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Körpers ebenso der Ring regulärer Funktionen auf diesem Monoid. Deshalb ist in diesem Fall die polynomiale Darstellungstheorie von GL_{n}(K) auf die rationale Darstellungstheorie von M_{n}(K) zurückgeführt. Aufgrund der Monoidstruktur von M_{n}(K) trägt A_{K}(n) die Struktur einer Bialgebra, deren Komultiplikation Δ : A_{K}(n) → A_{K}(n) ⊗ A_{K}(n) durch die Multiplikation und deren Koeins ϵ : A_{K}(n) → K durch das Einselement von M_{n}(K) induziert ist. Als Algebra ist A_{K}(n) graduiert:

A_{K}(n) = ⨁_{r=0}^{∞} A_{K}(n, r),

wobei A_{K}(n, r) neben dem Nullpolynom aus den vom Grad r homogenen Polynomen besteht. Die homogenen Summanden A_{K}(n, r) selbst sind Unterkoalgebren von A_{K}(n) endlicher Dimension. Deren duale Algebren

S_{K}(n, r) := A_{K}(n, r)^{∗} = Hom_{K}(A_{K}(n, r), K)

sind die von J.A. Green ([G1]) nach I. Schur benannten Algebren, deren Darstellungstheorie die vom Grad r homogenen polynomialen Darstellungen der GL_{n}(K) widergibt.

Im Hinblick auf eine charakteristikfreie Behandlung der polynomialen Darstellungstheorie der generellen linearen Gruppen empfiehlt sich die Betrachtung der Schur-Algebren S_{R}(n, r) := A_{R}(n, r)^{∗} = Hom_{R}(A_{R}(n, r), R) über kommutativen Ringen R mit Eins, wobei A_{R}(n, r) die homogenen Summanden der graduierten R-Bialgebra A_{R}(n) := R[c_{11}, c_{12} …, c_{nn}] sind. Es gilt dann bekanntlich für jeden Körper K

S_{K}(n, r) ≅ K ⊗_{ℤ} S_{ℤ}(n, r).

1E-Mail: seba@tunix.mathematik.uni-stuttgart.de

Weiterhin sind von R. Dipper und G. James ([DJ]) im Zusammenhang mit der modularen Darstellungstheorie der generellen linearen Gruppen über endlichen Körpern in nichtbeschreibender Charakteristik q-analoge Versionen von Schur-Algebren, sogenannte q-Schur-Algebren, eingeführt worden. In [DD] wurde gezeigt, daß diese in Analogie zu obigen Definitionen (bis auf Morita-Äquvalenz) auch als duale Algebren

S_{R,q}(n, r) := A_{R,q}(n, r)^{∗} = Hom_{R}(A_{R,q}(n, r), R)

homogener Summanden A_{R,q}(n, r) einer graduierten, i.A. nicht kommutativen Bialgebra A_{R,q}(n) = R < x_{11}, x_{12}, …, x_{nn} > /I aufgefaßt werden kann. Diese Bialgebra kann man als Koordinatenring eines “Quantenmonoidschemas” M_{n,q}(R) ansehen. Darin ist R ein kommutativer Ring mit Eins und einer Einheit q ∈ R. Die spitzen Klammern stehen für den nichtkommutativen Polynomring über R, also die freie Algebra in den Unbestimmten x_{ij}. Die Erzeuger des Ideals I führen zu folgenden Relationen unter den Restklassen c_{ij} der x_{ij}:

\begin{matrix}c_{ik}c_{jl} = qc_{jl}c_{ik} & i > j, k ≤ l, \\ c_{ik}c_{jl} = c_{jl}c_{ik} + (q − 1)c_{jk}c_{il} & i > j, k > l, \\ c_{ik}c_{il} = c_{il}c_{ik} & 1 ≤ i, k, l ≤ n. \end{matrix}

Im Fall q = 1 und R = ℤ erhält man die obige ganzzahlige Version S_{ℤ}(n, r).

Schließlich sei noch der Zusammenhang zwischen Schur-Algebren und der Operation der symmetrischen Gruppe S_{r} auf dem r-fachen Tensorprodukt V^{⊗r} des natürlichen Moduls V = R^{n} durch Platzvertauschung erwähnt. Es gilt bekanntlich S_{R}(n, r) ≅ End_{S_{r}}(V^{⊗r}). In Analogie zur Operation von S_{r} auf V^{⊗r} gibt es eine Operation der Iwahori-Hecke-Algebra H_{R,r} vom Typ A auf V^{⊗r}, bezüglich der S_{R,q}(n, r) ≅ End_{H_{R,r}}(V^{⊗r}) gilt.

Zur Definition von symplektischen Schur-Algebren ist zunächst ein algebraisches Monoid anzugeben, welches die Rolle von M_{n}(K) im Zusammenhang mit den symplektischen Gruppen übernimmt. Wir definieren ein solches durch

SpM_{n}(K) := {A ∈ M_{n}(K)| ∃ g(A) ∈ K, A^{t}JA = g(A)J = AJA^{t}}.

Die Funktion g : SpM_{n}(K) → K wird dann notwendigerweise zu einem rationalen Charakter von SpM_{n}(K). Wir nennen g(A) den Dilatationskoeffizienten von A. J ist die Gram-Matrix einer nichtausgearteten schiefsymmetrischen Bilinearform, die wir o.B.d.A. als J = (ϵ_{i}δ_{ii′}) mit ϵ_{i} := 1 für i ≤ m := \frac{n}{2} und ϵ_{i} := −1 für i > m sowie i′ := n − i + 1 wählen. Die Gruppe der symplektischen Ähnlichkeiten GSp_{n}(K) ist die Gruppe der Einheiten darin, also GSp_{n}(K) = {A ∈ SpM_{n}(K)| g(A) ≠ 0}, während die symplektische Gruppe Sp_{n}(K) selbst aus denjenigen Elementen A von SpM_{n}(K) besteht, deren Dilatationskoeffizient g(A) Eins ist. Das Monoid SpM_{n}(K) wurde auch von D.J. Grigorev ([Gg]) und S. Doty [Dt] betrachtet, dessen Bezeichnung hier übernommen wurde.

Da mit jedem A ∈ SpM_{n}(K) und c ∈ K auch das Vielfache cA in SpM_{n}(K) liegt, ist der Koordinatenring

A_{K}^{s}(n) := K[SpM_{n}(K)]

eine graduierte Bialgebra, deren homogene Summanden wir mit A_{K}^{s}(n, r) bezeichnen. Da es sich auch wieder um Unterkoalgebren von A_{K}^{s}(n) handelt, können wir die endlichdimensionalen dualen Algebren

S_{K}^{s}(n, r) := A_{K}^{s}(n, r)^{∗}

bilden, die als symplektische Schur-Algebren betrachtet werden sollen. Wir werden in analoger Weise zur Bildung von S_{R,q}(n, r) eine q-analoge Version von S_{K}^{s}(n, r) definieren, die für R = ℤ und q = 1 zu einer ganzzahligen Version von S_{K}^{s}(n, r) spezialisiert. Weiterhin werden wir eine freie Basis mit guten Eigenschaften für die Darstellungstheorie dieser Algebra angeben. Hierzu benötigen wir Bideterminanten, die nun betrachtet werden sollen.

3 Bideterminanten

Die Menge der Partitionen einer natürlichen Zahl r in nicht mehr als n positive Summanden bezeichnen wir mit Λ^{+}(n, r). Die Elemente von Λ^{+}(n, r) werden als n-Tupel λ := (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}) von nichtnegativen ganzen Zahlen λ_{i} mit λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{n} ≥ 0 und λ_{1} + … + λ_{n} = r geschrieben. Wir veranschaulichen eine Partition λ durch ein Diagramm, welches in der ersten Zeile λ_{1} Kästchen, in der zweiten λ_{2} und in der letzten Zeile λ_{n} Kästchen enthält. Für λ = (3, 2, 2, 1) ∈ Λ^{+}(4, 8) erhält man z.B.:

Zu einem Multi-Index i = (i_{1}, …, i_{r}) mit i_{j} ∈ \underline{n} := \{1, …, n\} betrachten wir λ-Tableaus in \underline{n}. Ein solches erhält man, indem man die Einträge von i Spalte für Spalte, von oben nach unten, in das Diagramm von λ einträgt. In obigem Beispiel ist also zu i ∈ I(n, 8) (wir schreiben I(n, r) := \underline{r}\underline{n} für die Menge aller Multi-Indizes mit r Komponenten)

T_{i}^{λ} := i_{1} i_{5} i_{8} ; i_{2} i_{6} ; i_{3} i_{7} ; i_{4} .

Ein λ-Tableau T_{i}^{λ} heißt spaltenstandard, wenn die Einträge in allen Spalten echt von oben nach unten ansteigen. Sind zusätzlich die Zeilen von links nach rechts (schwach) ansteigend, so nennen wir das Tableau standard. Die Menge der Multi-Indizes i ∈ I(n, r), für die T_{i}^{λ} standard ist, bezeichnen wir mit M(λ) und diejenige Obermenge, für die das zugehörige Tableau lediglich spaltenstandard ist, mit M′(λ).

Zu λ ∈ Λ^{+}(n, r) erhält man mit p := λ_{1} die duale Partition λ′ = (λ′_{1}, …, λ′_{p}) ∈ Λ^{+}(p, r), die bekanntlich durch λ′_{i} := |{j| λ_{j} ≥ i}| definiert ist. Die Komponenten sind gerade die Spaltenlängen des Diagramms von λ. Die Standard-Young-Untergruppe S^{λ} der symmetrischen Gruppe S_{r} zur Partition λ ist diejenige Untergruppe, welche die Teilmengen {1, …, λ_{1}}, {λ_{1}+1, …, λ_{1}+λ_{2}}, … von \underline{r} als Ganzes invariant läßt. Die Standard-Young-Untergruppe S^{λ′} zur dualen Partition von λ = (3, 2, 2, 1) aus obigem Beispiel ist also die Untergruppe von S_{8}, die {1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7} und {8} in sich abbildet. Dies ist der Spaltenstabilisator von λ. Wir definieren nun Bideterminanten durch

T^{λ}(i : j) := ∑_{w∈S^{λ′}}(−1)^{l(w)}c_{i(jw)} = ∑_{w∈S^{λ′}}(−1)^{l(w)}c_{(iw)j}.

Darin werden die Abkürzungen c_{ij} := c_{i_{1}j_{1}}c_{i_{2}j_{2}} … c_{i_{r}j_{r}} und iw := (i_{w(1)}, i_{w(2)}, …, i_{w(r)}) zu i, j ∈ I(n, r) und w ∈ S_{r} verwendet. l(w) steht für die Länge der Permutation w. Man sieht leicht, daß Bideterminanten Produkte von Unterdeterminanten sind, und zwar von genau p = λ_{1} Stück. Beispiel für λ = (2, 2):

T_{i}^{λ} := 1 2 3 4 , T_{j}^{λ} := 1 1 2 3 , dann ist: T^{λ}(i : j) = | \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{31} & c_{32} \end{matrix} | | \begin{matrix}c_{21} & c_{23} \\ c_{41} & c_{43} \end{matrix} | .

Bideterminanten werden schon lange im Zusammenhang mit klassischer Invariantentheorie betrachtet ([G1], [Ma]). Die Grundlage für ihre Bedeutung in der Darstellungstheorie der generellen linearen Gruppe bzw. der Schur-Algebren ergibt sich einerseits aus dem

Satz 3.1 (Mead ([Me]); Doubilet, Rota, Stein ([DRS])) Über einem beliebigen kommutativen Ring R mit Eins besitzt A_{R}(n, r) die freie Basis

B := {T^{λ}(i : j)| λ ∈ Λ^{+}(n, r), i, j ∈ M(λ)}.

Andererseits spielt der Sachverhalt, daß sie Koeffizientenfunktionen der M_{n}(R)-Moduln

V (λ) := ⋀^{λ′_{1}} ⊗ ⋀^{λ′_{2}} ⊗ … ⊗ ⋀^{λ′_{p}}

sind, eine Rolle, wobei ⋀ = ⨁_{r=0}^{n} ⋀^{r} die äußere Algebra bezeichnet. J.A. Green verwendet Bideterminanten in [G1] zur Definition der Schur-Moduln D_{λ,K}. In [G2] gibt er eine Basis für S_{R}(n, r) an, die im “wesentlichen” dual zu obiger Basis ist und deren Elemente Kodeterminanten genannt werden. “Wesentlich” soll heißen: Die Transformationsmatrix zur dualen Basis von B ist unimodular, wenn eine geeignete Ordnung der Basiselemente zugrunde gelegt wird. Green benutzt die Kodeterminanten, um die charakteristikfreie Darstellungstheorie der Schur-Algebren in eleganter Weise zu formulieren und ihre Quasi-Erblichkeit zu zeigen. Die wesentlichen Eigenschaften der Kodeterminantenbasis, welche dazu befähigen, lassen sich durch eine Axiomatik beschreiben, die auf J.J. Graham und G.I. Lehrer ([GL]) zurückgeht und die nun vorgestellt werden soll.

4 Zelluläre Algebren

Eine zelluläre Algebra ist eine assoziative (unitale) Algebra A über einem kommutativen Ring R mit Eins zusammen mit einer teilweise geordneten Menge Λ, deren Endlichkeit wir im Gegensatz zu [GL] annehmen wollen (vgl. [KX] remark S. 6), und endlichen Mengen M(λ) zu jedem λ ∈ Λ (Menge der “λ-Tableaus”), so daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

(C1) A besitzt eine Basis {C_{S,T}^{λ} | λ ∈ Λ, S, T ∈ M(λ)}.

(C2) A besitzt eine R-lineare Anti-Involution ∗, für die (C_{S,T}^{λ})^{∗} = C_{T,S}^{λ} für alle λ ∈ Λ und S, T ∈ M(λ) gilt.

(C3) Für alle a ∈ A, λ ∈ Λ und S, T ∈ M(λ) gilt:

aC_{S,T}^{λ} ≡ ∑_{S′∈M(λ)} r_{a}(S′, S)C_{S′,T}^{λ} mod A(< λ),

wobei die Zahlen r_{a}(S′, S) ∈ R unabhängig von T sind und A(< λ) der R-lineare Aufspann der Basiselemente C_{U,V}^{μ} mit μ < λ und U, V ∈ M(μ) ist.

Aufbauend auf diesen Vorgaben wird die Darstellungstheorie einer zellulären Algebra in [GL] entwickelt: Zunächst kann man zu jedem λ ∈ Λ einen Standardmodul W (λ) durch Vorgabe einer freien R-Basis {C_{S}^{λ}| S ∈ M(λ)} und der Operation darauf durch aC_{S}^{λ} = ∑_{S′∈M(λ)} r_{a}(S′, S)C_{S′}^{λ} definieren. Sodann findet man auf jedem W (λ) eine symmetrische Bilinearform ϕ_{λ} mit ϕ_{λ}(a^{∗}x, y) = ϕ_{λ}(x, ay) für alle a ∈ A und x, y ∈ W (λ). Ist nun R ein Körper und ϕ_{λ} ≠ 0, so stimmt das Radikal des Moduls W (λ) mit dem Radikal der Bilinearform ϕ_{λ} überein und der einfache Kopf L_{λ} von W (λ) ist absolut irreduzibel. Darüber hinaus erhält man auf diese Art eine vollständige Menge paarweise nichtisomorpher einfacher A-Moduln {L_{λ}| λ ∈ Λ_{0}}, wobei Λ_{0} := {λ ∈ Λ| ϕ_{λ} ≠ 0} gesetzt wurde. Bezeichnet man zu λ ∈ Λ und μ ∈ Λ_{0} mit d_{λμ} die Vielfachheit von L_{μ} in W (λ), so zeigen Graham und Lehrer weiter, daß d_{λμ} = 0 für λ ≤ μ und d_{λλ} = 1 gilt. Unter einer Ordnung, welche die teilweise Ordnung auf Λ verfeinert, erhält man somit eine obere unitrianguläre Matrix als Zerlegungsmatrix D = (d_{λμ})_{λ∈Λ,μ∈Λ_{0}}. Die Cartan-Matrix C berechnet sich daraus zu C = D^{t}D. Die Theorie liefert ebenso Kriterien für die Halbeinfachheit bzw. Quasi-Erblichkeit von A. Im ersten Fall muß rad(ϕ_{λ}) = (0) für alle λ ∈ Λ gelten, für den zweiten Fall reicht Λ_{0} = Λ.

Beispiele für zelluläre Algebren sind etwa Brauer’s Zentralisator-Algebra, Ariki-Koike-Hecke-Algebren, Temperley-Lieb- und Jones-Algebren ([GL]). R. Green ([Gr]) gibt eine q-analoge Version der oben beschriebenen Kodeterminantenbasis von S_{ℤ}(n, r) für die q-Schur-Algebra S_{R,q}(n, r) an, welche zellulär ist. Die Standardmoduln bezüglich dieser zellulären Struktur sind gerade die q-Weyl-Moduln. Tatsächlich ist im klassischen Fall sogar die duale Basis zur Basis B aus Satz 3.1 eine zelluläre Basis von S_{R}(n, r) ebenfalls mit den Weyl-Moduln als den Standardmoduln. Um dies näher zu beleuchten, geben wir das duale Konzept einer zellulären Koalgebra an.

Eine zelluläre Koalgebra ist eine Koalgebra K über einem kommutativen Ring R mit Eins, zusammen mit einer endlichen, teilweise geordneten Menge Λ und endlichen Mengen M(λ) zu jedem λ ∈ Λ, so daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

(C1*) K besitzt eine Basis {C_{S,T}^{λ} | λ ∈ Λ, S, T ∈ M(λ)}.

(C2*) K besitzt einen R-linearen involutorischen Anti-Koalgebrenautomorphismus ∗, für den (C_{S,T}^{λ})^{∗} = C_{T,S}^{λ} für alle λ ∈ Λ und S, T ∈ M(λ) gilt.

(C3*) Für alle λ ∈ Λ und S, T ∈ M(λ) gilt bezüglich der Komultiplikation Δ:

Δ(C_{S,T}^{λ}) ≡ ∑_{S′∈M(λ)} a(S′, S) ⊗ C_{S′,T}^{λ} mod K ⊗ K(> λ),

wobei die Koalgebrenelemente a(S′, S) ∈ K unabhängig von T sind und K(> λ) der Rlineare Aufspann der Basiselemente C_{U,V}^{μ} mit μ > λ und U, V ∈ M(μ) ist.

Es ist eine einfache Übungsaufgabe zu zeigen, daß die duale Algebra einer zellulären Koalgebra eine zelluläre Algebra mit der dualen Basis als zellulärer Basis ist. Der umgekehrte Sachverhalt gilt ebenso. Da die Bideterminanten Koeffizientenfunktionen der Moduln V (λ) sind, erhält man bezüglich der Komultiplikation Δ : A_{R}(n, r) → A_{R}(n, r) ⊗ A_{R}(n, r) die Formel

Δ(T^{λ}(i : j)) = ∑_{k∈M′(λ)} T^{λ}(i : k) ⊗ T^{λ}(k : j).

Nun zeigt sich im Beweis von Satz 3.1 (siehe etwa [Ma]), daß bei geeigneter Ordnung auf Λ = Λ^{+}(n, r) (lexikographische Ordnung bezüglich dualer Partitionen λ′) zu k ∈ M′(λ) von j unabhängige Zahlen a_{kl} ∈ ℤ existieren mit

T^{λ}(k : j) ≡ ∑_{l∈M(λ)} a_{kl}T^{λ}(l : j) mod A_{R}(n, r)(> λ),

woraus die Eigenschaft (C3*) für B folgt. (C1*) ergibt sich sofort aus dem Satz, während der Anti-Koalgebrenautomorphismus, der durch Matrixtransposition auf A_{R}(n) induziert ist, dem Axiom (C2*) genügt. Also ist B eine zelluläre Basis von A_{R}(n, r).

5 Symplektische q-Schur-Algebren

In ähnlicher Weise wie in Abschnitt 2 ein q-Analogon zu S_{R}(n, r) definiert wurde, soll nun ein q-Analogon zu den symplektischen Schur-Algebren S_{K}^{s}(n, r) über einem kommutativen Ring R zu einer Einheit q ∈ R definiert werden. Die Konstruktion ist aus der Theorie der Quantengruppen bekannt und wird nach L.D. Faddeev, N.Y. Reshetikhin und L.A. Takhtadjian auch FRT-Konstruktion genannt ([FRT]). Die hier angewandte Version ist eine leichte Verallgemeinerung davon, die - falls (q−1) keine Einheit ist - notwendig ist, um Torsionselemente zu vermeiden. Wir setzen wie oben an

A_{R,q}^{s}(n) = R < x_{11}, x_{12}, …, x_{nn} > /I^{s}.

Das Ideal I^{s} wird ebenfalls von homogenen Elementen zweiten Grades erzeugt. Diese lassen sich jedoch nicht mehr so übersichtlich aufschreiben. Zu ihrer Definition betrachten wir die folgenden Endomorphismen von V^{⊗2} (V = R^{n}):

β := ∑_{1≤i≤n}(qE_{ii} ⊗ E_{ii} + E_{ii′} ⊗ E_{i′i}) + v ∑_{1≤i≠j,j′≤n} E_{ij} ⊗ E_{ji} +

+ (q − 1) ∑_{1≤j<i≤n}(E_{ii} ⊗ E_{jj} − v^{ρ_{i}−ρ_{j}}ϵ_{i}ϵ_{j}E_{ij′} ⊗ E_{i′j})

und

γ := ∑_{1≤i,j≤n} v^{ρ_{i}−ρ_{j}}ϵ_{i}ϵ_{j}E_{ij′} ⊗ E_{i′j};

darin sind E_{ij} die Matrixeinheiten in End_{R}(V). Weiter ist v ∈ R mit v^{2} = q, (ρ_{1}, …, ρ_{n}) = (m, m − 1, …, 1, −1, …, −(m − 1), −m) sowie ϵ_{i} := sign(ρ_{i}).

Durch β und γ sind Darstellungen der Birman-Murakami-Wenzl Algebren BMW_{R,r} auf den rfachen Tensorprodukten V^{⊗r} des natürlichen Moduls V gegeben, indem die Erzeuger derselben durch die Endomorphismen

β_{i} := id_{V^{⊗i−1}} ⊗ β ⊗ id_{V^{⊗r−i−1}} und γ_{i} := id_{V^{⊗i−1}} ⊗ γ ⊗ id_{V^{⊗r−i−1}}

operieren. Die Herleitung von β und γ beruht auf der Drinfeld’schen Quantendoppelkonstruktion und es soll hier nicht näher darauf eingegangen werden. Referenzen auf Orginalliteratur sowie entsprechende Formeln für die Typen B und D findet man etwa in [Ta] bzw. in [Ha] (in Bezug auf multiparametrische Versionen davon).

Zur Beschreibung von I^{s} führen wir zu einem Endomorphismus α ∈ End_{R}(V^{⊗r}) folgende Schreibweise ein

αx_{ij} := ∑_{k∈I(n,r)} a_{ik}x_{kj} und x_{ij}α := ∑_{k∈I(n,r)} x_{ik}a_{kj},

worin wiederum x_{ij} := x_{i_{1}j_{1}}x_{i_{2}j_{2}} … x_{i_{r}j_{r}} die Monome in den x_{ij} sind und (a_{ij})_{i,j∈I(n,r)} die Koeffizientenmatrix von α bezüglich der kanonischen Basis von V^{⊗r} ist. Das Ideal I^{s} wird dann von

{βx_{ij} − x_{ij}β, γx_{ij} − x_{ij}γ| i, j ∈ I(n, 2)}

erzeugt. Es ist ein homogenes Biideal in der Bialgebra R < x_{11}, …, x_{nn} > und man erhält wiederum eine graduierte Bialgebra A_{R,q}^{s}(n) = ⨁_{r=0}^{∞} A_{R,q}^{s}(n, r), deren homogene Summanden Unterkoalgebren sind. Als symplektische q-Schur-Algebra definieren wir dann

S_{R,q}^{s}(n, r) := A_{R,q}^{s}(n, r)^{∗} = Hom_{R}(A_{R,q}^{s}(n, r), R).

Aufgrund der Konstruktion von A_{R,q}^{s}(n) ist die Koalgebra A_{R,q}^{s}(n, r) in gewissem Sinn ein Koalgebren-Analogon zur Bildung des Zentralisators einer Unteralgebra von End_{R}(V^{⊗r}) (in diesem Falle des Bildes der Birman-Murakami-Wenzl-Algebra unter der oben angebenen Darstellung). Dies führt in Analogie zu S_{R}(n, r) ≅ End_{S_{r}}(V^{⊗r}) auf einen Algebrenisomorphismus

S_{R,q}^{s}(n, r) ≅ End_{BMW_{R,r}}(V^{⊗r}) bzw. für q = 1 auf S_{R,1}^{s}(n, r) ≅ End_{B_{R,r}}(V^{⊗r}),

wobei mit B_{R,r} Brauer’s Zentralisator-Algebra gemeint ist, zu der BMW_{R,r} für q = 1 spezialisiert. Während für einen kommutativen Ring S und einen Ringhomomorphismus R → S mit q ↦ q̄ stets ein Isomorphismus S ⊗_{R} A_{R,q}^{s}(n, r) ≅ A_{S,q̄}^{s}(n, r) von Koalgebren besteht, ist ein entsprechender Algebrenisomorphismus S ⊗_{R} S_{R,q}^{s}(n, r) ≅ S_{S,q̄}^{s}(n, r) erst dann gesichert, wenn bekannt ist, daß A_{R,q}^{s}(n, r) als R-Modul projektiv ist. Wir werden nun unter gewissen Einschränkungen für q eine freie Basis für A_{R,q}^{s}(n, r) angeben, die für die ausgeschlossenen Werte von q vermutlich ebenso eine Basis bleibt. In der Beweisführung sind diesbezüglich jedoch Schwierigkeiten vorhanden, die sich bislang nicht ausräumen ließen.

Wir geben dazu zunächst eine quantensymplektische Version von Bideterminaten. Zu einer Permutation w ∈ S_{r}, die als reduzierter Ausruck w = s_{i_{1}}s_{i_{2}} … s_{i_{t}} mit Nachbarvertauschungen s_{i} := (i, i + 1) ∈ S_{r} vorliegen möge, setzen wir

β(w) := β_{i_{1}}β_{i_{2}} … β_{i_{t}} ∈ End_{R}(V^{⊗r}).

Diese Definition ist unabhängig vom reduzierten Ausdruck, da sich zwei reduzierte Ausdrücke für w allein durch Anwendungen von Zopfrelationen ineinander überführen lassen und die β_{i} die Zopfrelationen β_{i}β_{i+1}β_{i} = β_{i+1}β_{i}β_{i+1} für 1 ≤ i < r erfüllen (β ist ein sogenannter Quanten-Yang-Baxter-Operator). Wir setzen dann

T_{q}^{λ}(i : j) := ∑_{w∈S^{λ′}}(−q)^{−l(w)}β(w)c_{ij} = ∑_{w∈S^{λ′}}(−q)^{−l(w)}c_{ij}β(w)

und nennen diese Elemente quantensymplektische Bideterminanten. Darin sind c_{ij} die Restklassen der Monome x_{ij} in A_{R,q}^{s}(n, r). Die Gleichheit β(w)c_{ij} = c_{ij}β(w) ergibt sich nach Wahl des Ideals I^{s}. Man beachte, daß im klassischen Fall v = q = 1 gerade c_{ij}β(w) = c_{i(jw^{−1})} und β(w)c_{ij} = c_{(iw)j} gilt, so daß sich die in Abschnitt 3 definierten Bideterminanten ergeben.

In Analogie zum klassischen Fall erhält man die quantensymplektischen Bideterminanten auch als Produkte von ebensolchen über alle Spalten des Diagramms von λ. Daher ist es nur nötig Bideterminanten zu den Fundamentalgewichten λ = ω_{r} := (1, 1, …, 1, 0, …, 0) (r Einsen), also zu einspaltigen Diagrammen, zu kennen. Allerdings sehen auch diese schon recht kompliziert aus, wie die folgenden Beispiele zeigen:

T_{q}^{ω_{2}}((k, l) : (i, j)) = | \begin{matrix}c_{ki} & c_{kj} \\ c_{li} & c_{lj} \end{matrix} |_{q} = c_{ki}c_{lj} − v^{−1}c_{kj}c_{li}, falls k < l, i < j, i ≠ j′ = n − j + 1,

T_{q}^{ω_{2}}((k, l) : (i, i′)) = | \begin{matrix}c_{ki} & c_{ki′} \\ c_{li} & c_{li′} \end{matrix} |_{q} = c_{ki}c_{li′} − q^{−1}c_{ki′}c_{li} − (q^{−1} − 1) ∑_{j=1}^{i−1} v^{j−i}c_{kj′}c_{lj},

falls k < l, i ≤ m, sowie

T_{q}^{ω_{3}}((j, k, l) : (i, i′, i)) = | \begin{matrix}c_{ji} & c_{ji′} & c_{ji} \\ c_{ki} & c_{ki′} & c_{ki} \\ c_{li} & c_{li′} & c_{li} \end{matrix} |_{q} ≠ 0, falls j < k < l, i ≤ m.

Das erste Beispiel sieht der Quantendeterminante für die generellen linearen Gruppen ähnlich (siehe etwa [DD],[Ta], [Ha]). Im zweiten Beispiel erhält man jedoch eine deutlich kompliziertere Formel im Fall assoziierter Indizes i, i′ = n − i + 1. Die Berechnung des dritten Beispiels ist schon eine erhebliche Fleißaufgabe. Bemerkenswert ist, daß eine solche symplektische Quantendeterminante von Null verschieden ist, obwohl zwei gleiche Spalten vorhanden sind.

Zur Beschreibung der Basis benötigen wir auch eine q-analoge Version der Dilatationskoeffizientenfunktion g : SpM_{n}(K) → K die wir ebenfalls mit g bezeichnen:

g := v^{k} ∑_{i=1}^{m} v^{−i} | \begin{matrix}c_{ki} & c_{ki′} \\ c_{k′i} & c_{k′i′} \end{matrix} |_{q} = ∑_{i=1}^{n} v^{ρ_{i}−ρ_{k}}ϵ_{i}c_{ki}c_{k′i′}.

Wie bereits erwähnt, kann das Hauptergebnis aufgrund beweistechnischer Schwierigkeiten momentan nur unter einer Einschränkung für q formuliert werden. Diese lautet:

(q) Ist q ≠ 1 und p(x) ∈ ℤ[x] ein k-tes Kreisteilungspolynom für ein k ≤ m, so sei p(q) eine Einheit in R.

Satz 5.1 (a) Erfüllt q die Bedingung (q), so besitzt A_{R,q}^{s}(n, r) die zelluläre Basis

B_{q} := \{g^{l}T_{q}^{λ}(i : j)| 0 ≤ l ≤ \frac{r}{2}, λ ∈ Λ^{+}(m, r − 2l), i, j ∈ M^{s}(λ)\}.

In diesem Fall ist auch S_{R,q}^{s}(n, r) eine zelluläre Algebra mit der zu B_{q} dualen Basis als zellulärer Basis.

(b) Im Fall R = Z := ℤ[q, q^{−1}] besitzt auch S_{Z,q}^{s}(n, r) eine zelluläre Basis, die dual zu B_{q} ist.

(c) Falls q in R der Bedingung (q) genügt, so gilt (als R-Algebren):

R ⊗_{Z} S_{Z,q}^{s}(n, r) ≅ S_{R,q}^{s}(n, r).

Es ist noch die Menge M^{s}(λ), die hier als Menge von spiegelsymplektischen Standardtableaus bezeichnet werden soll, zu erklären. Es handelt sich dabei um eine Variante des Begriffs des symplektischen Standardtableaus, der auf R.C. King ([Ki]) zurückgeht. Diese Tableaus wurden auch von A. Berele ([Be]), C. de Concini ([Co]), S. Donkin ([D3]) und M. Iano-Fletcher ([Ia]) verwendet. Während King selbst symplektische Standardtableaus zur Bestimmung von Gewichtsraumdimensionen einsetzt, werden bei Berele Basen der irreduziblen Sp_{n}(ℂ)-Moduln mit diesen Tableaus indiziert. De Concini zeigt, daß die (klassischen) Bideterminanten zu Paaren von symplektischen Standardtableaus eine Basis für die homogenen Summanden des Koordinatenrings A_{K}^{s}(n)/ < g > der Halbgruppe SpM_{n}(K)\GSp_{n}(K) bilden, und legt damit den Grundstein für eine charakteristikfreie Darstellungstheorie von Sp_{n}(K). Donkin und Iano-Fletcher haben diese Resultate in Zusammenhang mit der Theorie algebraischer Gruppen bzw. einer polynomialen Darstellungstheorie im Sinne von [G1] gebracht und Basen von symplektischen Schur- und Weyl-Moduln erhalten.

Gemäß der Definition in [Ki] sind symplektische Standardtableaus standard bezüglich der Ordnung 1′ < 1 < 2′ < 2 < … < m′ < m von \underline{n} und erfüllen die zusätzliche Bedingung, daß für i ≤ m das Auftreten von i und i′ auf die ersten i Zeilen beschränkt ist. Mit diesen Tableaus kann man die Gültigkeit von Satz 5.1 im klassischen Fall v = q = 1 ebenso zeigen. Im Fall q ≠ 1 muß der Straightening Algorithmus (wie man ihn etwa aus dem symplektischen Carter-Lusztig-Lemma aus [D3] entnehmen kann) jedoch so stark variiert werden, daß die Verwendung von spiegelbildlich symplektischen Tableaus nötig wird. Ein solches Tableau ist standard bezüglich der Ordnung m′ < m < … < 2′ < 2 < 1′ < 1 und erfüllt die zusätzliche Bedingung, daß für i ≤ m das Auftreten von i und i′ auf die ersten m − i + 1 Zeilen beschränkt ist. Beispielsweise gibt es im Fall λ = ω_{2} = (1, 1, 0, …, 0) unter den Standardtableaus der jeweiligen Ordnung jeweils genau ein nicht symplektisches bzw. ein nicht spiegelsymplektisches Tableau:

\begin{matrix}1′ \\ 1 \end{matrix} ist nicht standard-symplektisch ; \begin{matrix}m′ \\ m \end{matrix} ist nicht standard-spiegelsymplektisch.

Wir geben schließlich noch einige Konsequenzen von Satz 5.1 im klassischen Fall v = q = 1 für einen algebraisch abgeschlossenen Körper K beliebiger Charakteristik an. Man sieht leicht, daß man einen Epimorphismus graduierter Bialgebren von A_{K,1}^{s}(n) auf A_{K}^{s}(n) = K[SpM_{n}(K)] hat. In [D2] und [Dt] werden symplektische Schur-Algebren als duale Algebren der homogenen Summanden des Koordinatenrings K[\overline{GSp_{n}(K)}] des Zariski-Abschlusses der Gruppe der symplektischen Ähnlichkeiten betrachtet. Daher ist ein Vergleich mit diesen Bialgebren angebracht. Da \overline{GSp_{n}(K)} eine abgeschlossene Teilmenge in SpM_{n}(K) ist, hat man auch einen solchen Epimorphismus von A_{K}^{s}(n) auf K[\overline{GSp_{n}(K)}]. Die Dimensionen der homogenen Summanden der letzteren Bialgebra sind aus [D2] bzw. [D1] bekannt, und sie stimmen mit den durch Satz 5.1 gegebenen Dimensionen von A_{K,1}^{s}(n, r) überein. Also muß es sich in beiden Fällen um Isomorphismen handeln. Dies impliziert zum einen SpM_{n}(K) = \overline{GSp_{n}(K)} - ein Resultat, das ebenso in [Dt] (Corollary 5.5 (f)) erreicht wird - zum anderen

Korollar 5.2 Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper beliebiger Charakteristik. Dann gilt:

(a) Die Menge {f_{ij}, f̄_{ij}, f_{ll′} − f̄_{kk′}| 1 ≤ i < j ≤ n, i ≠ j′, 1 ≤ l ≤ k ≤ m} mit f_{ij} := ∑_{k=1}^{m} c_{ik}c_{jk′} − c_{ik′}c_{jk} und f̄_{ij} := ∑_{k=1}^{m} c_{ki}c_{k′j} − c_{k′i}c_{kj} ist ein Erzeugendensystem für das Verschwindungsideal des Koordinatenringes A_{K}^{s}(n) = K[SpM_{n}(K)] in K[M_{n}(K)].

(b) Man erhält durch A_{ℤ,1}^{s}(n) eine als ℤ-Modul freie ganzzahlige Version von A_{K}^{s}(n), so daß A_{K}^{s}(n) ≅ K ⊗_{ℤ} A_{ℤ,1}^{s}(n) ≅ A_{K,1}^{s}(n) als graduierte Bialgebren gilt. Insbesondere folgt daraus S_{K}^{s}(n, r) ≅ S_{K,1}^{s}(n, r) ≅ End_{B_{K,r}}(V^{⊗r}).

(c) Die hier definierten symplektischen Schur-Algebren S_{K}^{s}(n, r) stimmen mit den in [D2] bzw. [Dt] betrachteten (S_{O}(n, r) bzw. S_{r}(GSp_{n}(K)) in der dortigen Notation) überein.

Für den Fall eines Körpers der Charakteristik Null wurde (a) und der Zusatz in (b) bereits in [Dt] (Theorem 9.5 (a) und Corollary 9.3 (c)) gezeigt.

Literatur

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