Klassifikation der algebraischen Flächen vierter Ordnung, die eine einparametrige

Familie von Kegelschnitten besitzen

Zulassungsarbeit von Sebastian Oehms

Themenstellung: Prof. Dr. W. Degen, Mathematisches Institut B, Universität Stuttgart.

Tag der Einreichung: 12.1.1990

Vorwort

Als Erster beschäftigte sich E. Kummer [14] im Jahr 1865 mit algebraischen Flächen vierter Ordnung im dreidimensionalen projektiven Raum, welche die Eigenschaft besitzen, daß es zu ihnen eine einparametrige Familie von Kegelschnitten gibt, deren sämtliche Elemente in der Fläche enthalten sind. Es folgten Abhandlungen von C.M. Jessop [12] (1916) und W.F. Meyer [15] (1921-34). Abgesehen von etlichen Ergänzungen werden hier die Betrachtungen der erstgenannten Arbeit wiedergegeben. Sowohl in Bezug auf die Resultate, als auch hinsichtlich der Argumentation bleiben in allen drei Arbeiten zum Teil wesentliche Fragen offen. Beispielsweise erfährt man dort nicht, ob die angegebenen Typen von Flächen auch tatsächlich alle in Frage stehenden umfassen. Um so erstaunlicher ist es, daß unter den von Kummer angegebenen Flächen nur zwei Typen der fraglichen Quartiken fehlen (wie sich hier herausstellen wird), deren erster in der Abhandlung von Meyer, der zweite hingegen in der von Jessop hinzugefügt wird und die hier mit (j1) bzw. (j2) bezeichnet werden.

Die Schwierigkeiten beim Lesen der damaligen Arbeiten entstehen insbesondere durch die Verwendung einiger Begriffe in wechselnden Bedeutungen, aber auch dadurch, daß bei anstehenden Fallunterscheidungen häufig nur ein sogenannter ‘allgemeiner’ oder ‘bemerkenswerter’ Fall behandelt wird. Der Leser bleibt dann in der Fülle der zwar ‘uninteressanteren’, aber dafür oft schwierigeren Fälle, alleine zurück. Von der unpräzisen Begriffsverwendung ist hier besonders die im Fall des Wortes Kegelschnitt bedeutsam. Generell wurden darunter wohl eindimensionale Zykel vom Grad zwei verstanden (entsprechend der hier verwendeten Definition in Paragraph 2.1). Häufig wird der Begriff jedoch als Synonym für eine irreduzible eindimensionale Varietät (Kurve) vom Grad zwei gebraucht. Das ist natürlich kein Wunder, da die Notwendigkeit, begrifflich zwischen Varietäten und Zykeln zu unterscheiden, damals noch nicht eingesehen wurde. Es wird nicht einmal klar, ob Kummers Zielsetzung in [14] von der ersten oder der zweiten Interpretation des Wortes Kegelschnitt ausgeht. Seine Bemerkung, wonach alle Regelflächen vierter Ordnung eine einparametrige Familie von Kegelschnitten tragen (S.76), legt die erste Auffassung nahe. Allerdings ist dann fraglich, warum er nicht zu dem Satz gelangt, daß zu allen Quartiken mit einer Kurve singulärer Punkte stets eine solche Familie existiert (vgl. Zusammenfassung der vorliegenden Arbeit). Außerdem geht er in seiner Argumentation stets von vier verschiedenen Singularitäten der Schnittkurven zwischen der Fläche und denjenigen Ebenen, welche die Kegelschnitte der Familie enthalten (hier Trägerebenen genannt) aus, woraus man schliessen kann, daß er hierbei an zwei irreduzible Kurven zweiter Ordnung gedacht haben muß, die sich nicht berühren. Wie dem auch sei, in der vorliegenden Abhandlung sollen Kegelschnitte jedenfalls stets in der zuletzt genannten Weise, also als irreduzible Kurven, aufgefaßt werden. Daher sind die Regelflächen hier ausführlicher zu untersuchen als von Kummer. In Paragraph 2.5 werden zu diesem Zweck die theoretischen Hilfsmittel bereitgestellt. Es stellt sich dann tatsächlich heraus, daß etliche Typen von Regelflächen überhaupt keine Kegelschnitte enthalten (was im Fall der Kegel natürlich einfach einzusehen ist).

Die heikelste, bei Kummer, Jessop und Meyer offengebliebene Frage, ließ sich nach langem Bemühen schließlich auf relativ einfache Weise mit Hilfe der Vorbereitungen aus Paragraph 2.4 lösen. Es handelt sich um Folgendes: Da Kummer in seiner Argumentation stets vier Singularitäten auf den Schnittkurven zwischen Trägerebenen und Quartik (s.o.) annimmt, gelangt er auch stets zu Flächen, die eine Kurve singulärer Punkte enthalten. Die beiläufige Entdeckung von Flächen des Interessenbereichs mit nur isolierten Singularitäten ([15, S.1572], [12, S.134]) (hier: Typ (j1) und (j2)), hätte Meyer und Jessop eigentlich stutzig machen müssen, denn hier haben alle Schnittkurven nur zwei bzw. einen singulären Punkt. Nimmt man die Fälle, wo es stets nur ein bzw. zwei Singularitäten auf den Schnittkurven gibt, in die Untersuchung auf, so ist zunächst nicht klar, warum es sich bei diesen auch gleichzeitig um Singularitäten der Fläche handeln muß. Es ist nämlich durchaus in Betracht zu ziehen, daß die Singularitäten durch eine Berührung der Trägerebenen verursacht werden, so daß sogar singularitätenfreie Flächen vierter Ordnung mit einparametriger Kegelschnittfamilie denkbar wären. Möglicherweise waren den Autoren Kummer, Jessop und Meyer die Fakten, welche diese Annahme widerlegen und hier in Paragraph 2.4 erarbeitet werden, intuitiv oder aus Erfahrung so offensichtlich, daß nicht einmal diese Annahme zu Papier gebracht wurde. Die Lücke wird hier in Paragraph 3.1 geschlossen, wodurch eine vollständige Klassifikation aller Quartiken des Interessenbereichs erreicht wird. Darüberhinaus ist es sogar in den meisten Fällen möglich, sämtliche Kegelschnitte auf der Fläche zu ermitteln. Besonders nützlich ist dabei die Untersuchungsmethode von C. Segre ([18]), die in Paragraph 3.4 erläutert wird.

Wie in der damaligen Zeit üblich, arbeiteten Kummer, Jessop und Meyer über dem Körper der komplexen Zahlen. Diese Vorgabe konnte hier zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null abgeschwächt werden. Die Ersetzung der klassischerweise üblichen transzendenten Argumentationsmethoden durch algebraische ist weitgehend durch die moderne Algebraische Geometrie vollzogen worden. Häufig muß man hierzu einen aufwendigen algebraischen Begriffsapparat verwenden. Nicht nur, um den Umfang der Arbeit in Grenzen zu halten, sondern auch um der Ausarbeitung einen mehr geometrischen als algebraischen Charakter zu verleihen, sind daher die grundlegenden Sätze der modernen Theorie lediglich unter Verweis auf Literatur in Kapitel 1 angegeben. Die Voraussetzung über die Körpercharakteristik geht primär in den Sätzen 1.4.1, 1.6.2 aber auch in Lemma 2.1.2 und Satz 2.6.1 ein.

Ein wesentliches Hilfsmittel der Geometer des letzen Jahrhunderts bestand in der Betrachtung von ‘Reziproken Flächen’ oder — wie man heute sagt — Dualen Varietäten. Diese geometrisch naheliegenden Objekte finden in der modernen Behandlung der Algebraischen Geometrie nur zögernd Beachtung. Für viele Überlegungen dieser Arbeit sind sie jedoch unentbehrlich. Die wesentlichen diesbezüglichen Sachverhalte sind den Arbeiten [13] und [11] entnommen und wurden in Paragraph 1.6 angegeben. In diesem Zusammenhang ist auch auf die durchgehend verwendete Bezeichnungsweise für Teilmengen des Dualraums IP^{n}^{∨}, die stets mit einem ∨ oben indiziert werden, hinzuweisen. Falls es sich bei der Teilmenge um eine projektive Varietät handelt, kann man sie als duale Varietät einer projektiven Varietät des IP^{n} ansehen und wir werden letztere stillschweigend durch das gleiche Symbol jedoch ohne ∨ bezeichnen.

Der Begriff der Familie von Kurven oder stetigen Kurvenschar, wie es damals oft hieß, ist auf klassische Weise ebenfalls differentialgeometrisch gefaßt worden. Die moderne Algebraische Geometrie hat als Ersatz den Begriff der algebraischen Familie von Varietäten (aber auch andere) zur Verfügung. Von besonderem Interesse sind unter diesen speziell lineare Kurven–Systeme. Was über diese Begriffe für die hiesigen Zwecke auf theoretischer Ebene darzulegen ist, findet man in den Paragraphen 2.2 und 2.3. Zuvor werden die Chow–Varietäten behandelt, die gewissermaßen universelle Parametervarietäten für algebraische Familien von Varietäten darstellen. Einparametrige algebraische Familien von Kegelschnitten des IP^{3} entsprechen damit Kurven auf der achtdimensionalen Chow–Varietät C_{1,2}(IP^{3})^{irr}, deren Punkte in eineindeutiger Weise zu den Kegelschnitten des IP^{3} gehören (ähnlich wie die Punkte der Plückerquadrik zu den Geraden).

Die Ergebnisse der Klassifikation sind in Kapitel 4 zusammengefaßt, wo auch Gleichungsdarstellungen für die betreffenden Flächen zu finden sind.

Zum Gelingen dieser Arbeit möchte ich mich recht herzlich bei all denen bedanken, die dazu beigetragen haben. Dabei ist zunächst Prof. Dr. W. Degen zu nennen, dem mein Dank für die interessante Aufgabenstellung, sowie für Hilfestellungen bei der Bewältigung der Kernfragen gilt. Dr. M. Oehler unterstützte mich durch Anregungen nach der Durchsicht des Manuscripts. Mit Verständnisfragen schema– und garbentheoretischer Natur konnte ich mich freundlicherweise auch an Prof. P. Slodowy wenden. Nicht zuletzt gilt mein Dank all jenen Kommilitonen, die dazu beigetragen haben, daß meine Arbeit nun in leserlicher Form vorliegt. Insbesondere möchte ich dabei Hartmut Holzwart nennen, der mir mit viel Geduld bei der Korrektur der Arbeit geholfen hat.

Hiermit erkläre ich, daß ich die Arbeit selbständig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln angefertigt habe und daß alle Stellen, die im Wortlaut oder dem Sinn nach anderen Werken entnommen sind, durch Angabe der Quellen als Entlehnungen kenntlich gemacht worden sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe 6 1.1 Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Reguläre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Produkte von Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Tangentenkegel und Vielfachheiten . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Duale Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Theoretische Hilfsmittel 16 2.1 Chow–Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Algebraische Familien von Varietäten . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Lineare Kurven–Systeme auf Flächen . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Haupttangenten und parabolische Punkte . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Einiges über Regelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Sonstige Hilfssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Klassifikation 39 3.1 Quartiken mit höchstens isolierten Singularitäten . . . . . . . . 40 3.2 Einteilung der Quartiken mit eindimensionalem singulären Ort 48 3.3 Quartiken mit irreduzibler kubischer Doppelpunktskurve …. 50 3.4 Die Untersuchungsmethode von Segre . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Quartiken mit einem Doppelkegelschnitt . . . . . . . . . . . . . 70 3.6 Die Steinersche Römerfläche und ihre Entartungstypen . . . . . 72 3.7 Quartiken mit zwei schneidenden Doppelgeraden . . . . . . . . 78 3.8 Quartiken mit zwei windschiefen Doppelgeraden . . . . . . . . 80 3.9 Quartiken mit einer Gerade von Doppelpunkten . . . . . . . . 81 3.10 Quartiken mit einer Gerade dreifacher Punkte . . . . . . . . . . 86

4 Zusammenfassung 90

Literaturverzeichnis 93

Kapitel 1

Grundbegriffe

Um mit den verwendeten Notationen und Generalvoraussetzungen vertraut zu machen, wird ein kurzer Blick auf die fundamentalen Begriffe der algebraischen Geometrie geworfen.

1.1 Varietäten

Die hier betrachteten geometrischen Objekte sind stets als eingebettet in einen n–dimensionalen projektiven Raum IP_{k}^{n} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k der Charakteristik Null aufzufassen. Der Körper k ist durchgehend fest gewählt, so daß er in der Regel wieder aus der Bezeichnung entfernt wird. Zur Vermeidung von Umständlichkeiten werden Punkte x ∈ IP^{n} und Koordinatenvektoren x = (x_{0}, …, x_{n}) durch gleiche Symbole geschrieben. In Kapitel 3 werden wir das zugrunde liegende Koordinatensystem häufig wechseln. Ein solches ist durch n + 1 linear unabhängige Punkte (Grundpunkte des Koordinatensystems oder kurz: Koordinatengrundpunkte), welche wir stets durch A_{0}, …, A_{n} bezeichnen, zuzüglich eines weiteren, von keinen n der A_{0}, …, A_{n} linear abhängigen Punktes, den wir Normierungspunkt des Koordinatensystems nennen, festgelegt. Die Punkte A_{0}, …, A_{n} besitzen die Einheitsvektoren als Koordinatenvektoren.

Ist T ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] eine Menge homogener Polynome in x, so bezeichnen wir die Nullstellenmenge von T durch

V (T) := {x ∈ IP^{n} | f(x) = 0 ∀f ∈ T }

(für T = {f} auch kurz: V (f)). Ist umgekehrt X ⊆ IP^{n}, so erzeugt die Menge

T := {f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] | f homogen ∧ f(x) = 0 ∀x ∈ X}

ein Ideal, welches mit I(X) bezeichnet wird und welches homogen ist, d.h. I(X) enthält mit jedem Polynom f alle homogenen Bestandteile desselben. Wir nennen I(X) homogenes Ideal von X.

Die Räume IP^{n} sind mit einer Topologie, der Zariski-Topologie, ausgestattet, deren abgeschlossene Mengen gerade solche der Form V (T) für eine Menge T ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] homogener Polynome sind. Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes vermerkt wird, sind alle topologischen Begriffe bezüglich der Zariski-Topologie aufzufassen.

Definition (Varietät): Eine nichtleere Teilmenge X ⊆ IP^{n}, versehen mit der Spurtopologie der Zariski-Topologie heißt eine Varietät genau dann, wenn X offen in \overline{X} (Abschluß von X in IP^{n}) ist. In den Fällen, wo a) X = \overline{X}, b)X = \overline{X}\H (mit einer Hyperebene H ⊂ IP^{n}) oder c)X ⊆ \overline{X}\H gilt, heißt X auch a)projektive, b)affine oder c)quasiaffine Varietät.

Die Definition richtet sich nach Shafarevich [21] und unterscheidet sich von der bei Hartshorne [10] gegebenen durch den Verzicht auf die Irreduzibilität von X. Ein topologischer Raum heißt irreduzibel wenn aus jeder Zerlegung X = X_{1}∪X_{2} mit abgeschlossenen Mengen X_{1}, X_{2} ⊆ X X_{1} = X oder X_{2} = X folgt, oder — äquivalent — wenn jede offene nichtleere Teilmenge von X dicht in X liegt. Andernfalls heißt X reduzibel .

Die Eigenschaft von k[x_{0}, …, x_{n}], ein noetherscher Ring zu sein, liefert zu jeder Varietät X eine eindeutige Zerlegung in abgeschlossene irreduzible Komponenten X = X_{1} ∪ … ∪ X_{r} (r ∈ IN), in der für i, j ∈ {1, …, r} und i ≠ j X_{i} ⊈ X_{j} gilt ([10, S.5]).

Als Dimension ( dim X) einer irreduziblen Varietät X bezeichnet man die eindeutig bestimmte Maximalzahl von abgeschlossenen irreduziblen Untervarietäten, die eine beliebige Kette X = X_{r} ⊃ X_{r−1} ⊃ … ⊃ X_{1} ⊃ X_{0} mit X_{r} ≠ … ≠ X_{0} erreichen kann. Die Dimension einer beliebigen Varietät X ist das Maximum der Dimensionen ihrer irreduziblen Komponenten. Besitzen alle Komponenten dieselbe Dimension, so spricht man von reiner Dimension. Eindimensionale Varietäten werden als Kurven, zweidimensionale als Flächen und (n − 1)–dimensionale als Hyperflächen bezeichnet.

Satz 1.1.1. Sei f ein homogenes Polynom, das auf der irreduziblen projektiven Varietät X nicht verschwindet. Dann ist X ∩ V (f) von reiner Dimension dim X − 1.

Beweis. [21, S. 57, Theorem 4 u. S.58, Theorem 5].

Satz 1.1.2. Seien X, Y ⊆ IP^{n} Varietäten mit dim X = l, dim Y = m, l + m ≥ n und X ∩ Y ≠ ∅. Dann ist Z := X ∩ Y eine Varietät, für deren Zerlegung in irreduzible Komponenten Z = Z_{1} ∪ … ∪ Z_{r} dim Z_{i} ≥ m + l − n für i = 1, …, r gilt. Sind weiterhin X, Y projektiv und ist Y Nullstellenmenge n − m homogener Polynome, so gilt stets X ∩ Y ≠ ∅.

Beweis. [21, S. 60, Theorem 6] und mehrfache Anwendung von Satz 1.1.1.

Mit den irreduziblen Varietäten sind auch gewisse algebraische Objekte verbunden. Wegen der Irreduzibilität von X ist I(X) ein Primideal, so daß der homogene Koordinatenring S[X] := k[x_{0}, …, x_{n}]/I(X) ein Integritätsbereich ist. Wegen der Homogenität von I(X) überträgt sich die graduierte Struktur von k[x_{0}, …, x_{n}] auf S[X]. Die Elemente vom Grad Null im Quotientenkörper von S[X] bilden einen Unterkörper, welcher Körper der rationalen Funktionen auf X heißt und mit K(X) bezeichnet wird. Die Elemente von K(X) sind also durch einen Quotienten zweier homogener Polynome g, h ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] von gleichem Grad gegeben wobei zwei Paare g/h, g′/h′ genau dann zu identifizieren sind, wenn gh′ − g′h ∈ I(X) ist.

Ist U ⊆ X offen und nichtleer, so bildet die Menge aller g/h ∈ K(X) mit h ≠ 0 auf U einen Unterring von K(X), welcher mit O(U) bezeichnet wird und Ring der regulären Funktionen auf U genannt wird. Für x ∈ U ist O_{x}(U) ⊃ O(U) , der Ring aller g/h ∈ K(X) mit h(x) ≠ 0, ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m_{x}, das alle Elemente g/h ∈ O_{x}(U) mit g(x) = 0 umfaßt.

1.2 Reguläre Abbildungen

Nun wenden wir uns den Morphismen aus der Kategorie der Varietäten, den regulären Abbildungen zu.

Definition: Eine Abbildung φ : X → Y von Varietäten X ⊆ IP^{n}, Y ⊆ IP^{m} heißt regulär genau dann, wenn zu jedem x ∈ X ein offenes U ⊆ X mit x ∈ U und homogene Polynome f_{0}, …, f_{m} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] von gleichem Grad d existieren, so daß für alle z ∈ U

φ(z) = (f_{0}(z), …, f_{m}(z))

gilt (notwendigerweise ist dann U ∩ V ({f_{0}, …, f_{m}}) = ∅).

Häufiger Gebrauch wird von folgenden fundamentalen Eigenschaften regulärer Abbildungen gemacht.

Satz 1.2.1. Sei φ : X → Y eine reguläre Abbildung. Dann gilt:

(a) φ ist stetig (bezüglich der Zariski–Topologien).

(b) X irreduzibel ⇒ \overline{φ(X)} irreduzibel.

(c) Es gibt eine nichtleere Menge U ⊆ φ(X), die offen in \overline{φ(X)} ist.

(d) X projektiv ⇒ φ(X) abgeschlossen.

Beweis. a) Für eine abgeschlossene Teilmenge Ỹ := V (T) ∩ Y von Y folgt mit S := {f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] | f = g(f_{0}, …, f_{m}) g ∈ T } wegen φ^{−1}(Ỹ) ∩ U = V (S) ∩ U die Abgeschlossenheit von φ^{−1}(Ỹ) lokal um jeden Punkt x ∈ X, also ist φ^{−1}(Ỹ) abgeschlossen.

b) Angenommen es gelte \overline{φ(X)} = Y_{1} ∪Y_{2} mit in \overline{φ(X)} abgeschlossenen Y_{1}, Y_{2} ≠ ∅ und Y_{1}, Y_{2} ≠ \overline{φ(X)}. Dann ist φ^{−1}(Y_{1}) =: X_{1}, φ^{−1}(Y_{2}) =: X_{2} ≠ X, da φ(φ^{−1}(Y_{i})) bestimmt von φ(X) für i = 1, 2 verschieden ist. Nach Teil a) sind X_{1}, X_{2} abgeschlossen. Wegen X = X_{1} ∪ X_{2} erhält man einen Widerspruch zur Irreduzibilität von X.

c) [21, S.50 Theorem 6].

d) [21, S.45 Theorem 2].

Aus a) folgt insbesondere, daß φ^{−1}(y) für alle y ∈ Y abgeschlossen in X ist. Zur Dimensionsberechnung von Varietäten ist häufig folgender Satz nützlich:

Satz 1.2.2. Sei φ : X → Y eine reguläre Abbildung irreduzibler Varietäten φ(X) = Y, dim X = l, dim Y = m. Dann folgt m ≤ l und

(a) dim φ^{−1}(y) ≥ l − m für alle y ∈ Y .

(b) Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge U ⊆ Y mit dim φ^{−1}(y) = l − m für alle y ∈ U.

(c) Für r ∈ IN ist die Menge Y_{r} := {y ∈ Y | dim φ^{−1}(y) ≥ r} abgeschlossen in Y .

Beweis. [21, S.60 Theorem 7 und Corollary].

Satz 1.2.3. Sei φ : X → Y eine reguläre Abbildung projektiver Varietäten mit irreduziblem Y = φ(X). Alle Fasern φ^{−1}(y) (y ∈ Y ) seien irreduzibel und von derselben Dimension ( dim φ^{−1}(y) = dim φ^{−1}(ỹ) für je zwei y, ỹ ∈ Y ). Dann ist auch X irreduzibel.

Beweis. [21, S.61 Theorem 8].

1.3 Produkte von Varietäten

Das Produkt zweier projektiver Räume IP^{n}, IP^{m} wird als eine projektive Untervarietät IP^{n} × IP^{m} ⊂ IP^{(n+1)(m+1)−1} , der sogenannten Segre–Varietät erklärt. Durch

x × y := (x_{0}y_{0}, …, x_{0}y_{m}, x_{1}y_{0}, …, x_{1}y_{m}, …, x_{n}y_{0}, …, x_{n}y_{m})

wird unabhängig von der Wahl der Koordinatenvektoren von x und y ein Punkt x×y ∈ IP^{(n+1)(m+1)−1} definiert. Die (algebraische) Determinantenbedingung für

rang ( \begin{matrix}x_{0}y_{0} & … & x_{0}y_{m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{n}y_{0} & … & x_{n}y_{m} \end{matrix} ) = 1

ergibt die Gleichungen von IP^{n} × IP^{m} (vgl. [21, S.43]).

Jede projektive Untervarietät Z ⊆ IP^{n} × IP^{m} ist durch ein System von Polynomen aus k[x_{0}, …, x_{n}, y_{0}, …, y_{m}] gegeben, welche homogen sowohl bezüglich x als auch bezüglich y sind ([21, S.44]).

Sind X ⊆ IP^{n}, Y ⊆ IP^{m} abgeschlossen, dann gilt dies offenbar auch für X × Y in IP^{n} × IP^{m}, da etwa die homogenen Polynome aus k[x_{0}, …, x_{n}] auch in k[x_{0}, …, x_{n}, y_{0}, …, y_{m}] liegen und homogen bezüglich x sind. Wegen (X\X_{1})× (Y \Y_{1}) = X × Y \(X_{1} × Y ∪ X × Y_{1}) ist daher das Produkt X × Y beliebiger Varietäten X und Y wieder eine solche. Rekursiv ist nun auch das Produkt mehrerer Varietäten X_{1} × … × X_{r} (r ∈ IN) definiert. Die Projektionsabbildungen pr_{X_{i}} : X_{1} × … × X_{r} → X_{i} für i = 1, …, r sind stets regulär, wie man leicht sieht.

Satz 1.3.1. Es gilt:

(a) X, Y projektiv ⇒ X × Y projektiv.

(b) X, Y irreduzibel ⇒ X × Y irreduzibel.

(c) dim (X × Y) = dim X + dim Y .

Beweis. a) Siehe oben.

b) Wende Satz 1.2.3 auf \overline{X} × \overline{Y} und pr\overline{X} an.

c) [21, S.54 Ex.4].

Satz 1.3.2. Sei X ⊆ IP^{n_{1}} × … × IP^{n_{r}} eine projektive Untervarietät von der reinen Dimension dim X = n_{1} + … + n_{r} − 1. Dann gibt es ein Polynom f ∈ k[x_{0}^{1}, …, x_{n_{1}}^{1}, x_{0}^{2}, …, x_{n_{2}}^{2}, …, x_{0}^{r}, …, x_{n_{r}}^{r}], welches homogen bezüglich sämtlicher Faktorräume IP^{n_{i}} (i = 1, …, r) ist und dessen Nullstellenmenge X ist. Bis auf einen skalaren Faktor ist f eindeutig bestimmt (falls man es ohne mehrfache Faktoren voraussetzt). Umgekehrt besitzt die Nullstellenmege eines einzelnen solchen Polynoms stets reine Dimension n_{1}+…+n_{r}−1 (d.h. alle Komponenten besitzen diese Dimension).

Beweis. [21, S.56, Theorem 3’] und Satz 1.1.1.

1.4 Der Tangentialraum

Sei x ∈ X ein festgewählter Punkt auf der Varietät X. Der Tangentialraum T_{x}X in x an X ist auf abstrakte Weise als dualer Vektoraum zu m_{x}/m_{x}^{2} definiert, wobei m_{x} ⊂ O_{x}(X) das maximale Ideal ist. In dieser Arbeit soll T_{x}X aber stets den eingebetteten projektiv abgeschlossenen Tangentialraum in x an X bezeichnen. Ist {f_{1}, …, f_{r}} eine Basis des homogenen Ideals I(X), so besitzt T_{x}X eine Gleichungsdarstellung

T_{x}X = V ({g_{1}, …, g_{r}}),

wobei g_{1}, …, g_{r} ∈ k[y_{0}, …, y_{n}] die linearen homogenen Formen

g_{i}(y) = ∑_{j=0}^{n} \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x)y_{j}

sind und \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} die formalen partiellen Ableitungen von f_{i} nach x_{j} bezeichnen.

T_{x}X ist ein linearer Unterraum von IP^{n} mit dim T_{x}X ≥ dim X. Als singuläre Punkte von X bezeichnet man diejenigen der Menge

Sing X := {x ∈ X| dim T_{x}X > dim X}.

Sing X heißt singulärer Ort von X und ist abgeschlossen in X, da es durch die (algebraische) Determinantenbedingung für

rang ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{0}} & … & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{r}}{∂x_{0}} & … & \frac{∂f_{r}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) ≤ n − dim X − 1

gegeben ist. Die nichtleere offene Menge der regulären Punkte ist also eine Untervarietät, die wir mit

X^{sm} := X\Sing X

(sm steht für ’smooth’) bezeichnen.

Ist φ : X → Y eine reguläre Abbildung x ∈ X und φ(x) =: y ∈ Y , so induziert φ eine projektive Abbildung

T_{x}φ : T_{x}X → T_{y}Y ,

welche Differential von φ in x genannt wird (faßt man T_{x}X als (m_{x}/m_{x}^{2})^{∗} auf, so ist T_{x}φ eine lineare Abbildung).

Ist U ⊆ X offen und x ∈ U, so daß mit den homogenen Formen g_{i} gleichen Grades φ(z) = (g_{0}(z), …, g_{m}(z)) für alle z ∈ U gilt, so besitzt T_{x}φ die Abbildungsmatrix

M := ( \begin{matrix}\frac{∂g_{1}}{∂x_{0}} & … & \frac{∂g_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂g_{m}}{∂x_{0}} & … & \frac{∂g_{m}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) (x)

(d.h. T_{x}φ(z) = Mz).

Eine reguläre Abbildung φ : X → Y mit \overline{φ(X)} = Y bezeichnet man als allgemein glatt, wenn es eine nichtleere offene Teilmenge X_{0} ⊆ X gibt, so daß T_{x}φ surjektiv für jedes x ∈ X_{0} ist.

Satz 1.4.1. Ist die Charakteristik des Körpers k gleich Null (was hier stets vorausgesetzt ist), dann ist jede reguläre Abbildung φ : X → Y mit \overline{φ(X)} = Y allgemein glatt.

Beweis. [10, S.272, Corollary 10.7] (beachte auch die dortige Proposition 10.4 S.270).

1.5 Tangentenkegel und Vielfachheiten

Sei X ⊆ IP^{n} eine Varietät und x ∈ X. Wir definieren den Tangentenkegel in x an X auf analytische Weise. Sei das Koordinatensystem in IP^{n} so gewählt, daß x = (1, 0, …, 0) ist. Schreibt man ein homogenes Polynom f ∈ I(X) in der Form

f = x_{0}^{m}f_{d−m} + x_{0}^{m−1}f_{d−m+1} + … + x_{0}f_{d−1} + f_{d}  (1.1)

wobei d = deg f, m < d und f_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] homogen vom Grad i ist, so ist die Varietät TC_{x}X := V (T), worin T die Menge aller Polynome f_{d−m} (zu f ∈ I(X) gemäß Gleichung (1.1)) ist, ein Kegel, den wir den Tangentenkegel in x an X nennen. Es gilt dann TC_{x}X ⊆ T_{x}X und TC_{x}X = T_{x}X , falls x regulär ist. Ist X speziell eine Hyperfläche (X = V (f)), dann gilt TC_{x}X = V (f_{d−m}) (vgl. hierzu [21, S.79]).

Für eine Hyperfläche X = V (f) und x ∈ IP^{n} definieren wir die Vielfachheit μ_{x}(X) als diejenige natürliche Zahl s =: μ_{x}(X) , für die

∀r < s ∀(i_{1}, …, i_{r}) ∈ (0, …, n)^{r} \frac{∂^{r}f}{∂x_{i_{1}} … ∂x_{i_{r}}} (x) = 0 ∧

∃(i_{1}, …, i_{s}) ∈ (0, …, n)^{s} \frac{∂^{s}f}{∂x_{i_{1}} … ∂x_{i_{s}}} (x) ≠ 0  (1.2)

gilt. Wählt man Koordinaten wie oben und schreibt f in der Form (1.1), so gilt μ_{x}(X) = d − m. Das ergibt

x ∈ X ⇔ μ_{x}(X) ≥ 1 ∧ x ∈ Sing X ⇔ μ_{x}(X) ≥ 2.

Nach Gleichung (1.2) ist die Menge aller x ∈ X mit μ_{x}(X) ≥ r (r ∈ IN) offenbar abgeschlossen und wir bezeichnen sie mit

Sing_{r}X := {x ∈ IP^{n}| μ_{x}(X) ≥ r}.  (1.3)

1.6 Duale Varietäten

Sei X ⊆ IP^{n} eine irreduzible projektive Varietät. Dann heißt

CX := \overline{\{(x, H^{∨}) ∈ X^{sm} × IP^{n}^{∨}| H ⊇ T_{x}X \}}

die Conormale Varietät von X. Dabei bezeichne IP^{n}^{∨} den Dualraum von IP^{n} und H^{∨} den der Hyperebene H ⊂ IP^{n} entsprechenden Punkt in IP^{n}^{∨}. Die Duale Varietät von X ist dann

X^{∨} := pr_{IP}^{n}^{∨}(CX)

Die Bezeichnung ist mit den obigen Notationen IP^{n}^{∨} und H^{∨} verträglich. Die Menge

Cont_{H}X := pr_{X}(pr_{X^{∨}}^{−1}(H^{∨}) ∩ CX) = \overline{\{x ∈ X^{sm} | H = T_{x}X \}}

heißt der Berührort von X mit der Hyperebene H.

Man sagt, die Varietät X sei reflexiv, wenn CX = CX^{∨} gilt, wobei natürlich CX^{∨} als Untervarietät von X × X^{∨} und nicht von X^{∨} × X aufzufassen ist. X heißt bidual, falls X = X^{∨}^{∨} gilt. Offensichtlich folgt aus der Reflexivität von X auch die Bidualität. Wir zitieren den überaus wichtigen

1.6.1. Satz (Monge–Serre–Wallace). Sei X ⊆ IP^{n} eine irreduzible projektive Varietät. Dann gilt: X ist reflexiv genau dann, wenn pr_{X^{∨}}_{|CX} allgemein glatt ist.

Beweis. [13, S.169] Nach unseren Generalvoraussetzungen über k kann daher laut Satz 1.4.1 X stets als reflexiv angenommen werden.

Für eine reduzible Varietät X setzen wir zur Vereinfachung der Schreibweise:

CX := CX_{1} ∪ … ∪ CX_{r}, X^{∨} := X_{1}^{∨} ∪ … ∪ X_{r}^{∨},

wobei X_{1}, …, X_{r} die irreduziblen Komponenten von X sind. Für einen Satz aus Paragraph 2.6 benötigen wir nachstehende Folgerung aus einem Theorem von Lê–Teissier (siehe dazu [13, S.219]):

Satz 1.6.2. Es gilt:

(a) (TC_{x}X)^{∨} ⊆ Cont_{x^{∨}}X^{∨} ∧ TC_{x}X ⊇ (Cont_{x^{∨}}X^{∨})^{∨},

(b) dim Cont_{x^{∨}}X^{∨} = 0 ⟹ (TC_{x}X)^{∨} = Cont_{x^{∨}}X^{∨}.

Beweis. a) Nach dem Theorem von Lê–Teissier gibt es irreduzible Untervarietäten W_{i} ⊆ TC_{x}X (i = 1, …, r), mit

TC_{x}X = ⋃_{i=1}^{r} W_{i} und Cont_{x^{∨}}X^{∨} = ⋃_{i=1}^{r} W_{i}^{∨}.

Dann sind etwa W_{i_{1}}, …, W_{i_{m}} (i_{1}, …, i_{m} ∈ {1, …, r}) die irreduziblen Komponenten von TC_{x}X und W_{j_{1}}^{∨}, …, W_{j_{l}}^{∨} (j_{1}, …, j_{l} ∈ {1, …, r}) diejenigen von Cont_{x^{∨}}X^{∨}. Also

(TC_{x}X)^{∨} = ⋃_{k=1}^{m} W_{i_{k}}^{∨} ⊆ Cont_{x^{∨}}X^{∨} und

(Cont_{x^{∨}}X^{∨})^{∨} = ⋃_{k=1}^{l}(W_{i_{k}}^{∨}^{∨}) = ⋃_{k=1}^{l} W_{i_{k}} ⊆ TC_{x}X

unter Verwendung der Bidualität der W_{i}.

b) folgt aus a), wenn man beachtet, daß nun TC_{x}X in Ebenen zerfällt.

Satz 1.6.3. Sei X eine irreduzible projektive Varietät im IP^{n}. Dann gibt es eine nichtleere offene Menge X′^{∨} ⊆ X^{∨}, so daß für alle H^{∨} ∈ X′^{∨} Cont_{H}X ein linearer Unterraum von IP^{n} ist.

Beweis. Wir setzen X′^{∨} := X^{∨}^{sm}. Aus der Reflexivität von X folgt

Cont_{H}X = pr_{X}(pr_{X^{∨}}^{−1}(H^{∨}) ∩ CX^{∨}) = (T_{H^{∨}}X^{∨})^{∨} für alle H^{∨} ∈ X′^{∨}.

Also ist Cont_{H}X linear, da dies für T_{H^{∨}}X^{∨} gilt.

Satz 1.6.4. Für eine Fläche F ⊂ IP^{3} , deren duale Varietät F^{∨} ⊂ IP^{3}^{∨} ebenfalls eine Fläche ist, gibt es höchstens endlich viele Ebenen E ⊂ IP^{3} , für die dim (Cont_{E}F) = 1 gilt.

Beweis. Die Conormale Varietät CF ist irreduzibel und zweidimensional, da die Fasern der Projektion pr_{F} : CF → F für x ∈ F^{sm} einelementig sind (man wende dazu Satz 1.2.1 (b) und Satz 1.2.2 auf pr_{F} an). Die Menge Y^{∨} := {E^{∨} ∈ F^{∨} | dim (pr_{F^{∨}}^{−1}(E^{∨}) ∩ CF) ≥ 1} ist nach Satz 1.2.2 (c) abgeschlossen. Wäre Y^{∨} eindimensional, so wäre nach Satz 1.2.2 pr_{F^{∨}}^{−1}(Y^{∨}) ∩ CF zweidimensional. Da nun CF irreduzibel und zweidimensional ist, ergibt sich CF ⊂ pr_{F^{∨}}^{−1}(Y^{∨}). Daraus folgt Y^{∨} = F^{∨} im Widerspruch zu dim F^{∨} = 2.

Um ein Durcheinander in der Bezeichnungsweise zu vermeiden, werden die Elemente von IP^{n}^{∨} stets mit ∨ indiziert (also H^{∨} ∈ IP^{n}^{∨}). Die zugehörige Hyperebene des IP^{n} wird dann stillschweigend durch H := H^{∨}^{∨} ⊆ IP^{n} notiert. Entsprechend verfahren wir mit den Varietäten des Dualraums: Wir indizieren sie stets mit ∨ (X^{∨} ⊆ IP^{n}^{∨}) und im Fall einer projektiven Varietät wird implizit X kanonisch mit X^{∨}^{∨} identifiziert.

Theoretische Hilfsmittel

2.1 Chow–Varietäten

Der Umstand, daß Lösungen algebraischer Gleichungen gelegentlich mehrfach gezählt werden müssen, erfordert, den Varietäten einen hierfür zweckmässigeren Begriff an die Seite zu stellen.

Definition: Sei X eine Varietät und r ∈ IN, r < dim X. Ein r–Zykel ist ein Element des von allen r–dimensionalen irreduziblen und abgeschlossenen Untervarietäten von X erzeugten freien ZZ –Moduls, der mit Z_{r}(X) bezeichnet wird ([21, S.206], [10, S.425]).

Ein r–Zykel Z läßt sich daher als formale Summe

Z = ∑_{i=1}^{l} n_{i}X_{i}

schreiben, wobei l natürlich, n_{i} ganzzahlig und X_{i} irreduzible abgeschlossene Untervarietäten der Dimension r sind. Gilt n_{i} ≥ 0 für alle i, so heißt Z auch effektiv (in Zeichen: Z ≥ 0). Mit supp Z := X_{1} ∪ … ∪ X_{l} bezeichnen wir den Träger von Z. Im Fall r = dim X − 1 spricht man anstelle von Zykeln von Divisoren.

Auf ähnliche Weise, wie man den Geraden des IP^{3} Plückerkoordinaten und damit Punkte der Plückerquadrik zuordnet, oder allgemeiner r–dimensionalen linearen Unterräumen des IP^{n} Punkte auf einer Grassmannmannigfaltigkeit zuschreibt, so kann man auch die effektiven r–Zykeln des IP^{n} mit Koordinaten versehen, welche Punkte eines höherdimensionalen projektiven Raumes darstellen. Diese werden die Chow–Koordinaten des Zykels Z genannt. Auf ihre Herleitung wird nun in Kürze eingegangen.

Zunächst wollen wir dazu annehmen, daß Z ∈ Z_{r}(X) ein effektiver Primzykel ist, d.h. Z = supp Z und supp Z ist irreduzibel. In IP^{n}×(IP^{n}^{∨})^{r+1} ist die Menge Λ := {(x, H_{0}^{∨}, …, H_{r}^{∨}) ∈ IP^{n} × (IP^{n}^{∨})^{r+1} | x ∈ H_{0} ∩ … ∩ H_{r}} abgeschlossen, wie man leicht sieht (Gleichungen: ∑_{j=0}^{n} H_{ij}^{∨}x_{j} = 0 für i = 0, …, r). Dasselbe gilt daher für Λ′Z := Λ ∩ pr_{IP^{n}}^{−1}(Z) und ΛZ := pr_{Y} (Λ′Z), wobei Y := (IP^{n}^{∨})^{r+1} ist (Satz 1.2.1 angewand auf die Projektionsabbildungen). Für jedes z ∈ Z ist pr_{IP^{n}}^{−1}(z) ∩ Λ = pr_{IP^{n}}^{−1}(z) ∩ Λ′Z = (z^{∨})^{r+1} . Da die z^{∨} Hyperebenen im IP^{n}^{∨} sind, ist zum einen dim (pr_{IP^{n}}^{−1}(z) ∩ Λ′Z) = (n − 1)(r + 1) und zum anderen ist (z^{∨})^{r+1} irreduzibel (Satz 1.3.1) für alle z ∈ Z. Damit ist nach Satz 1.2.3 Λ′Z und folglich auch ΛZ irreduzibel. Aus Satz 1.2.2 erhält man dim Λ′Z = n(r + 1) − 1 und Satz 1.1.1 liefert die Existenz eines y = (H_{0}^{∨}, …, H_{r}^{∨}) ∈ Y mit dim (pr_{Y}^{−1}(y) ∩ Λ′Z) = 0, woraus dim ΛZ = n(r + 1) − 1 folgt. Demnach ist ΛZ eine Hyperfläche in Y und nach Satz 1.3.2 gibt es ein bis auf einen skalaren Faktor eindeutig bestimmtes (r + 1)–fach homogenes Polynom f_{Z}, dessen Nullstellenmenge ΛZ ist. Man nennt f_{Z} die zugeordnete Form und seine Koeffizienten die Chow–Koordinaten von Z. Da nach Satz 1.1.1 zu jedem z ∉ Z stets Hyperebenen H_{0}^{∨}, …, H_{r}^{∨} ∈ z^{∨} existieren mit H_{0} ∩ … ∩ H_{r} ∩ Z = ∅, folgt

z ∈ Z ⟺ (z^{∨})^{r+1} ⊆ ΛZ.  (2.1)

Damit ist also nicht nur f_{Z} durch Z (bis auf einen Faktor), sondern auch Z durch f_{Z} eindeutig bestimmt. Aus diesem Grund müssen auch die r + 1 Homogenitätsgrade von f_{Z} bezüglich der einzelnen Faktoren IP^{n}^{∨} von Y übereinstimmen, da offensichtlich ΛZ bezüglich diesen symmetrisch ist. Den dadurch eindeutig bestimmten Homogenitätsgrad d von f_{Z} nennt man die Ordnung oder den Grad von Z (in Zeichen: deg Z = d).

Nun sei Z ein beliebiger effektiver Zykel: Z = ∑_{i=1}^{l} n_{i}X_{i}. Als zugeordnete Form von Z bezeichnen wir dann

f_{Z} := ∏_{i=1}^{l}(f_{X_{i}})^{n_{i}}.

Der Grad von Z wird durch

deg Z := ∑_{i=1}^{l} n_{i} deg X_{i}

definiert und stimmt mit den Homogenitätsgraden von f_{Z} bezüglich aller r + 1 Faktoren überein.

Vermittels der Chow–Koordinaten entspricht nun jedem effektiven Zykel der Dimension r und vom Grad d ein Punkt des projektiven Raumes IP^{ν_{n,r,d}} wobei ν_{n,r,d} := \binom{(n+1)^{r+1}+d(r+1)}{d(r+1)} − 1 ist (Binominalkoeffizient!). Mit C_{r,d}(X) ⊆ IP^{ν_{n,r,d}} bezeichnen wir die Menge aller Punkte, deren Koordinaten Chow–Koordinaten eines effektiven r–Zykels vom Grad d sind und zu c ∈ C_{r,d}(X) mit Z_{c} den entsprechenden Zykel.

Satz 2.1.1. Sei X ⊆ IP^{n} eine projektive Varietät. Dann ist auch C_{r,d}(X) ⊆ IP^{ν_{n,r,d}} eine projektive Varietät, die sogenannte Chow–Varietät.

Beweis. [25, S.218/220 (ZAG IX)] oder [24, S.160] (vgl. auch [21, S.68] und [8]).

Die Addition im Modul Z_{r}(X) definiert Abbildungen

Add : C_{r,d}(X) × C_{r,e}(X) → C_{r,d+e}(X).

Wegen f_{Z_{1}+Z_{2}} = f_{Z_{1}}f_{Z_{2}} sind die Chow–Koordinaten von Z_{1} + Z_{2} Polynome in den Chow–Koordinaten von Z_{1}, Z_{2} , die sowohl bezüglich Z_{1} als auch bezüglich Z_{2} homogen vom Grad eins sind. Daher sind die Abbildungen Add auf der projektiven Varietät C_{r,d}(X) × C_{r,e}(X) regulär, weil sie offensichtlich auch überall definiert sind. Daran erkennt man insbesondere, daß die Teilmenge aller irreduziblen projektiven Untervarietäten von X, die wir mit C_{r,d}(X)^{irr} bezeichnen, aufgefaßt als Teilmenge von C_{r,d}(X) offen ist. Denn es gilt

C_{r,d}(X)^{irr} = C_{r,d}(X)\( ⋃_{e=0}^{d}(C_{r,e}(X) × C_{r,d−e}(X)))

wobei der Ausdruck in der Klammer als endliche Vereinigung von Bildbereichen regulärer Abbildungen abgeschlossen ist (C_{r,e}(X) × C_{r,d−e}(X) ist abgeschlossen nach Satz 2.1.1 und 1.3.1 (a)).

Es wird nun eine geometrische Interpretation des oben definierten Grades einer projektiven Varietät gegeben, wozu folgendes Lemma gebraucht wird:

Lemma 2.1.2. Sei f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}, y_{0}^{1}, …, y_{m_{1}}^{1}, …, y_{0}^{r}, …, y_{m_{r}}^{r}] eine in x und y^{1}, …, y^{r} homogene Form, die keine mehrfachen Faktoren besitzt. Dann gibt es eine nichtleere offene Menge U ⊆ IP^{m_{1}} × … × IP^{m_{r}} =: Y , so daß für alle y := (y^{1}, …, y^{r}) ∈ U das Polynom f_{y} := f(x, y^{1}, …, y^{r}) ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] (als solches in x) keine mehrfachen Faktoren besitzt.

Beweis. Wir fassen die Menge der homogenen Polynome festen Grades d aus k[x_{0}, …, x_{n}] als Punkte des Raumes IP^{ν_{n,d}} auf, wobei ν_{n,d} := \binom{n+d}{d}−1 (Binominalkoeffizient!) ist und proportionale Polynome zu identifizieren sind. Die echte Teilmenge derjenigen Polynome, welche mehrfache Faktoren besitzen, ist hierin abgeschlossen. Dazu betrachtet man in IP^{n} × IP^{ν_{n,d}} die durch die Gleichungen \frac{∂f}{∂x_{i}} (x) = 0 i = 0, …, n definierte abgeschlossene Menge. Die Abgeschlossenheit der fraglichen Menge folgt dann aus einer Anwendung von Satz 1.2.2 (c) auf die Projektionsabbildung auf IP^{ν_{n,d}}, denn gerade für Polynome aus ihr besitzt diese (n − 1)–dimensionale Fasern. Da die kanonische Abbildung δ : Y → IP^{ν_{n,d}} mit δ(y) = f_{y} offenbar auf einer nichtleeren offenen Teilmenge von Y regulär ist (die Koeffizienten von f bezüglich x sind r–fach homogene Polynome gleichen Grades in y), genügt es nach Satz 1.2.1 (a) ein y zu finden, so daß f_{y} keine mehrfachen Faktoren besitzt. Wir nehmen nun an, daß es ein solches y nicht gibt. Die Menge

V := {(x, y) ∈ IP^{n} × Y | f_{y} = g_{y}^{k}h_{y} ∧ g_{y}(x) = 0 ∧ k > 1}

ist in der Nullstellenmenge Z von f enthalten. Für alle y ∈ Y ist pr_{Y}^{−1}(y) ∩ V abgeschlossen und nach der Annahme stets (n − 1)–dimensional. Daher gibt es eine irreduzible Komponente W ⊆ \overline{V} ⊆ Z (Abschluß in IP^{n} × Y ) mit dim (pr_{Y}^{−1}(y) ∩ W) = n − 1 für alle y ∈ Y . Insbesondere sieht man W ⊂ V , da dies faserweise gilt. Nach Satz 1.2.2 hat man dim W = n + m_{1} + … + m_{r} − 1, weshalb W nach Satz 1.3.2 eine irreduzible Gleichung g(x, y^{1}, …, y^{r}) = 0 besitzt. Aus W ⊆ Z folgtf = gh mit einem geeigneten Restpolynom h. Da f das Polynom g nur in einfacher Potenz enthält und nach der Annahme W in der Nullstellenmenge der n Polynome \frac{∂f}{∂x_{i}} = h\frac{∂g}{∂x_{i}} + g \frac{∂h}{∂x_{i}} (i = 0, …, n) enthalten ist, müssen die Polynome h\frac{∂g}{∂x_{i}} (i = 0, …, n) auf W verschwinden. Das heißt V (h) ∪ V (\frac{∂g}{∂x_{i}}) ⊃ W und die Irreduzibilität von W liefert daraus W ⊂ V (h) oder W ⊂ V (\frac{∂g}{∂x_{i}}). Der erste Fall ist nicht möglich, da g das Polynom h nicht teilen kann. Weil die Charakteristik des Körpers k Null, deg \frac{∂g}{∂x_{i}} < deg g und g irreduzibel ist, ist aber auch der zweite Fall unmöglich.

Satz 2.1.3. Sei X ⊆ IP^{n} eine projektive Varietät von reiner Dimension r. Mit L_{n−r} seien beliebige (n − r)–dimensionale lineare Unterräume von IP^{n} gemeint, die wir als Punkte einer Grassmannmannigfaltigkeit G_{n,n−r} deuten können. Dann gilt:

(a) d := deg X ≥ card(X ∩ L_{n−r}) für alle L_{n−r} ∈ G_{n,n−r} mit dim (X ∩ L_{n−r}) = 0

(b) Es gibt eine nichtleere offene Menge U ⊆ G_{n,n−r} mit deg X = card(X ∩ L_{n−r}) für alle L_{n−r} ∈ U

Beweis. Jeder (n − r)–dimensionale Unterraum L_{n−r} kann als Schnitt von r Hyperebenen H_{1}, …, H_{r} in allgemeiner Lage aufgefaßt werden. Wie man leicht sieht, ist in (IP^{n}^{∨})^{r} die Menge aller r–Tuppel von Hyperebenen (H_{1}^{∨}, …, H_{r}^{∨}) mit dim (X ∩ H_{1} ∩ … ∩ H_{r}) = 0 nichtleer und offen (Satz 1.1.1). Nach der Konstruktion der zugeordneten Form f_{X} von X zerfällt diese als Polynom in H^{∨} (also f_{X}(H^{∨}, H_{1}^{∨}, …, H_{r}^{∨})) in d lineare Faktoren. Jeder dieser linearen Faktoren hat ein Hyperebenenbündel (Menge aller Hyperebenen durch einen festen Punkt) als Nullstellenmenge. Das heißt: Jeder lineare Faktor entspricht genau einem Punkt von X ∩ H_{1}^{∨} ∩ … ∩ H_{r}^{∨} (vermittels seiner Koeffizienten). Wegen dim (X ∩ H_{1} ∩ … ∩ H_{r}) = 0 ergibt Satz 1.1.2 dim (H_{1}^{∨} ∩ … ∩ H_{r}^{∨}) = n−r. Also gilt card(X∩L_{n−r}) ≤ d für alle L_{n−r} ∈ G_{n,n−r} mit dim (X∩L_{n−r}) = 0. Die Behauptung (b) folgt aus dem Lemma 2.1.2, da man eine offene Menge U ⊆ (IP^{n}^{∨})^{r} findet, so daß f_{X}(H^{∨}, H_{1}^{∨}, …, H_{r}^{∨}) für alle (H_{1}^{∨}, …, H_{r}^{∨}) ∈ U als Polynom in H^{∨} in d verschiedene lineare Faktoren zerfällt (vgl. [21, S.67]).

Zum Schluß des Paragraphen wollen wir uns kurz mit den effektiven Divisoren des IP^{n} befassen und eine der vielen Versionen des Satzes von Bezout angeben. Für die effektiven Divisoren festen Grades d des IP^{n} ist die Darstellung als Punkte einer Chow–Varietät umständlicher als nötig, denn sie entsprechen in eineindeutiger Weise den homogenen Polynomen d–ten Grades in n + 1 Unbestimmten, wenn man proportionale Polynome identifiziert. Wie schon im Beweis des Lemmas 2.1.2 praktiziert, kann man sie daher als Punkte des Raumes IP^{ν_{n,d}} ansehen. Wir sagen, n effektive Divisoren D_{1}, …, D_{n} des IP^{n} besitzen allgemeine Lage, wenn dim (supp D_{1} ∩ … ∩ supp D_{n}) = 0 gilt. Für x ∈ supp (D_{1} ∩ … ∩ D_{n}) kann man eine affine Umgebung U ⊆ IP^{n} mit x ∈ U wählen, in der D_{1}, …, D_{n} durch die inhomogenen Polynome f_{1}, …, f_{n} ∈ O_{x}(IP^{n}) gegeben sind. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ([26, S.11]) gibt es eine Zahl l ∈ IN , so daß das Ideal (f_{1}, …, f_{n}) ⊇ m_{x}^{l} umfaßt, wobei m_{x}^{l} die l–te Potenz des maximalen Ideals des lokalen Ringes O_{x}(IP^{n}) ist. Daher ist O_{x}(IP^{n})/(f_{1}, …, f_{n}) ein endlichdimensionaler k –Vektorraum, da dies auch für O_{x}(IP^{n})/m_{x}^{l} gilt und man kann durch

(D_{1}, …, D_{n})_{x} := dim_{k}(O_{x}(IP^{n})/(f_{1}, …, f_{n}))

die Schnittmultiplizität von D_{1}, …, D_{n} in x definieren.

2.1.4. Satz (Bezout). Die effektiven Divisoren D_{1}, …, D_{n} des IP^{n} seien in allgemeiner Lage. Dann gilt:

∑_{x∈supp D_{1}∩...∩supp D_{n}}(D_{1}, …, D_{n})_{x} = deg D_{1} · . . . · deg D_{n}.

Beweis. [21, S.198].

Ist ein effektiver Divisor des IP^{n} durch D = ∑_{i=1}^{l} n_{i}H_{i} mit den Hyperflächen H_{1}, …, H_{l} gegeben, so kann man die im Kapitel 1.5 definierten Vielfachheiten auf D verallgemeinern durch:

μ_{x}(D) := ∑_{i=1}^{l} n_{i} μ_{x}(H_{i}).  (2.2)

Die Charakterisierung (1.2) bleibt dabei erhalten. Für den Spezialfall n = 2 erhält man für die Schnittmultiplizität (D_{1}, D_{2})_{x} folgende Kriterien:

Satz 2.1.5. Es gilt:

(a) (D_{1}, D_{2})_{x} = 1 ⟺ μ_{x}(D_{1}) = μ_{x}(D_{2}) = 1 ∧ T_{x}supp D_{1} ≠ T_{x}supp D_{2}

(b) (D_{1}, D_{2})_{x} ≥ μ_{x}(D_{1}) μ_{x}(D_{2})

Beweis. [1, S.82/83] oder [21, S.184/185].

Bemerkung 2.1.6. Eine andere Version des Satzes von Bezout (siehe [10, S.53]) besagt, daß die irreduziblen Komponenten C_{i} (i = 1, …, r) zweier Flächen F_{1} und F_{2} im IP^{3} mit geeigneten Schnittmultiplizitäten i(F_{1}, F_{2}; Z_{i}) versehen werden können, so daß für den effektiven 1–Zykel

Z = ∑_{i=1}^{r} i(F_{1}, F_{2}; Z_{i})Z_{i}

deg Z = deg F_{1} deg F_{2} gilt. Die algebraisch exakte Definition dieser Schnittmultiplizitäten ist für unsere Zwecke jedoch zu aufwendig und unangebracht. Zwar werden wir im Kapitel 3 diesen Sachverhalt oft verwenden, doch ist hier bis auf wenige Ausnahmen eine der beiden Flächen eine Ebene und man kann den Zykel Z auf einfache Weise als Divisor der Ebene E betrachten, wie dies auch in Lemma 2.5.5 geschieht. In den Ausnahmefällen wird jedoch in Kauf genommen, daß auf etwas umständliche Art auf die Schnittmultiplizitäten i(F_{1}, F_{2}; Z_{i}) mit Hilfe der beiden vorigen Sätze geschlossen werden muß. Man muß dazu in Satz 2.1.4 die beiden Flächen mit geeigneten Ebenen E schneiden (also (F_{1}, F_{2}, E)_{x} betrachten) und zwecks der Verwendung von Satz 2.1.5 die Schnitte als solche zweier Divisoren von E auffassen.

2.2 Algebraische Familien von Varietäten

Definition: Sei S eine Varietät und Γ eine abgeschlossene Menge in IP^{n} × S mit pr_{S}(Γ) = S. Für alle s ∈ S sei X_{s} := pr_{IP}^{n}(pr_{S}^{−1}(s) ∩ Γ) von reiner Dimension r. Dann heißt {X_{s} | s ∈ S} eine algebraische Familie von Varietäten mit Parametervarietät S (vgl. [21, S.68]).

Um der Definition Sinn zu verleihen wird gezeigt, daß X_{s} eine projektive Varietät ist. Sei also S ⊆ IP^{m}, s ∈ S und V_{s} := pr_{S}^{−1}(s) ∩ Γ. V_{s} ist abgeschlossen in Γ. Für den Abschluß \overline{V_{s}} von V_{s} in IP^{n} × IP^{m} gilt nach Satz 1.2.1 (a) pr_{IP}^{m}(\overline{V_{s}}) = s. Demzufolge hat man \overline{V_{s}} ⊆ IP^{n} × S, und daher \overline{V_{s}} ⊆ Γ, weil Γ abgeschlossen in IP^{n} × S ist. Die Abgeschlossenheit von V_{s} in Γ liefert nun V_{s} = \overline{V_{s}} und mit Satz 1.2.1 erhält man, daß X_{s} = pr_{IP}^{n}(V_{s}) projektiv ist.

Satz 2.2.1. Sei X ⊆ IP^{n} eine projektive Varietät und r, d ∈ IN . Dann ist {supp Z_{c} | c ∈ C_{r,d}(X)} eine algebraische Familie mit Parametervarietät C_{r,d}(X) (Z_{c} = Zykel mit Chow–Koordinate c).

Beweis. Es ist eine abgeschlossene Menge Γ_{r,d}(X) ⊆ X × C_{r,d}(X) zu konstruieren mit (x, c) ∈ Γ_{r,d}(X) ⟺ x ∈ supp Z_{c}. Dazu seien N_{i} : IP^{n} → IP^{n}^{∨} für i = 0, …, r beliebige Nullsysteme, d.h. projektive Abbildungen mit schiefsymetrischen Abbildungsmatrizen A_{i}. Weiter seien H_{i}^{∨} := N_{i}(x) die Bildhyperebenen von x ∈ X. Nun substituiert man H_{i}^{∨} in die zugeordnete Form f_{Z_{c}} von Z_{c}:

f_{Z_{c}}(A_{0}x, …, A_{r}x).  (∗)

Man fasse (∗) als Polynom mit den Einträgen der Matrizen A_{i} als den Unbestimmten auf. Da die N_{i} Nullsysteme sind, gilt x ∈ H_{i}. Also muß für x ∈ supp Z_{c} die Form (∗) identisch in den Komponenten der A_{i} verschwinden. Hiervon gilt nun auch die Umkehrung: Ist für x ∈ X die Form (∗) identisch Null in den Komponenten der Matrizen A_{i}, so folgt x ∈ supp Z_{c}. Denn es gibt einen irreduzibler Faktor von f_{Z_{c}}, der in den A_{i} identisch Null ist. Diesem entspreche die irreduzible Komponente Z_{0} ⊆ supp Z_{c}. Zu beliebigen Hyperebenen H_{i} mit x ∈ ⋂_{i01}^{r} H_{i} findet man stets Nullsysteme N_{i} mit H_{i} = N_{i}(x). Nun folgt (x^{∨})^{r+1} ⊆ ΛZ_{0} und nach Gleichung (2.1) x ∈ Z_{0} ⊆ supp Z_{c}. Die Koeffizienten von (∗) bezüglich der unbestimmten Komponenten der Matrizen A_{i} sind Polynome, die sowohl in den Chow–Koordinaten von Z_{c} als auch bezüglich x homogen sind. Nach den obigen Beweisschritten ist die Nullstellenmenge dieser Polynome aber gerade die Menge Γ_{r,d}(X).

Satz 2.2.2. Sei {X_{s} | s ∈ S} eine algebraische Familie projektiver Untervarietäten X_{s} von reiner Dimension r der projektiven Varietät X. Dann gibt es ein d ∈ IN und eine reguläre Abbildung δ : S → C_{r,d}(X) mit X_{s} = supp Z_{δ(s)} für alle s ∈ S. Weiterhin gibt es eine nichtleere offene Menge S′ ⊆ S so, daß deg X_{s} = d für alle s ∈ S′ gilt.

Beweis. 1) Wir betrachten zunächst den Fall r = n−1, X = IP^{n} und konstruieren eine Abbildung von S nach IP^{ν_{n,d}}. Die gegebene algebraische Familie sei durch die Menge Γ ⊆ IP^{n} × S definiert und f_{1}, …, f_{l} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}, s_{0}, …, s_{m}] seien Polynome, deren Nullstellenmenge Γ ist. Da die X_{s} von reiner Dimension n − 1 sind, müssen für festes s ∈ S die Polynomef_{is}(x) := f_{i}(x, s) ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] für i = 1, …, l laut Satz 1.3.2 proportional sein, oder es verschwinden einige von ihnen, jedoch nicht alle gleichzeitig. Man beachte, daß f_{is} nach Lemma 2.1.2 (auf einer geeigneten nichtleeren offenen Teilmenge von S) ohne mehrfache Faktoren angenommen werden kann (sofern dies für die f_{i} vorausgesetzt wird). Insbesondere stimmen die Homogenitätsgrade der f_{is} bezüglich x überein und können mit d bezeichnet werden. Man kann nun S mit offenen Mengen S_{0}, …, S_{k} überdecken, so daß zu jedem j ∈ {0, …, k} ein i_{j} ∈ {1, …, l} existiert mit f_{i_{j}s} ≢ 0 für alle s ∈ S_{j}. Da die Koeffizienten der f_{i} bezüglich x homogene Polynome in s von gleichem Grad sind (f_{i} homogen bezüglich s), erhält man reguläre Abbildungen δ_{j} : S_{j} → IP^{ν_{n,d}}, die jedem s ∈ S_{j} ein Polynom f_{i_{j}s} mit X_{s} = V (f_{i_{j}s}) zuordnen. Wegen δ_{j}(s) = δ_{k}(s) für s ∈ S_{j} ∩ S_{k} erhält man insgesamt eine reguläre Abbildung δ : S → IP^{ν_{n,d}} mit X_{s} = V (δ(s)) (fasse darin δ(s) als Polynom auf!).

2) Für den allgemeinen Fall werden wir Teil 1) auf die Hyperflächen ΛX_{s} anwenden (siehe Herleitung der Chow–Koordinaten in Paragraph 2.1). Analog wie bei der Einführung der Chow-Koordinaten sieht man, daß die Menge

Λ := {(H_{0}^{∨}, …, H_{r}^{∨}, s) ∈ (IP^{n}^{∨})^{r+1}×S| ∃x ∈ IP^{n} (x, s) ∈ Γ ∧ x ∈ H_{0}∩…∩H_{r}}

abgeschlossen in (IP^{n}^{∨})^{r+1} ×S ist, und daß für jedes s ∈ S dim (pr_{S}^{−1}(s)∩Λ) = n(r + 1) − 1 ist. Damit definiert Λ eine algebraische Familie von Hyperflächen im (IP^{n}^{∨})^{r+1} . Nach Schritt 1) gibt es eine reguläre Abbildung δ : S → IP^{ν_{n,r,d}} mit ΛX_{s} = V (δ(s)). Also gilt für alle s ∈ S gerade X_{s} = supp Z_{δ(s)} und δ(S) ⊆ C_{r,d}(X). Wendet man Lemma 2.1.2 auf die Polynome f_{i} des ersten Beweisschrittes an, so sieht man, daß es eine nichtleere offene Menge S′ ⊆ S mit deg X_{s} = d für alle s ∈ S′ gibt.

Satz 2.2.2 gestattet es nun auf einfache Weise die Dimension einer algebraischen Familie \{X_{s} | s ∈ S\} durch dim \overline{δ(S)} zu definieren. Anhand der Sätze 2.2.1 und 2.2.2 sowie 1.2.1 sind algebraische Familien von abgeschlossenen irreduziblen Untervarietäten Y einer projektiven Varietät X mit dim Y = r und deg Y = d im wesentlichen durch Untervarietäten von C_{r,d}(X)^{irr} gegeben. Im Fall unserer Aufgabe, die projektiven Flächen F von vierter Ordnung des IP^{3} auf einparametrige Familien von Kegelschnitten zu untersuchen, ist also die Dimension von C_{1,2}(F)^{irr} und wenn möglich die Zahl der irreduziblen Komponenten dieser Varietät zu bestimmen. Im übrigen wird die Geometrie der rein achtdimensionalen projektiven Varietät C_{1,2}(IP^{3}), zu deren Untervarietäten die C_{1,2}(F) gehören, ausführlich in [22] beschrieben. Diesbezüglich sei noch bemerkt, daß C_{1,2}(IP^{3})^{irr} irreduzibel ist (siehe auch [21, S.69]).

Die algebraische Familie aller Kegelschnitte des IP^{3} läßt sich auch auf eine andere interessante Weise parametrisieren, die in der projektiven Differentialgeometrie zur Definition von Kegelschnittflächen verwendet wird (siehe [6, S.2]): Für jeden Kegelschnitt C_{2} im IP^{3} ist C_{2}^{∨} ⊂ IP^{3}^{∨} ein irreduzibler quadratischer Kegel und umgekehrt ist die duale Varietät eines solchen wieder ein Kegelschnitt. Die Menge M ⊂ IP^{ν_{3,2}} aller irreduziblen quadratischen Kegel in IP^{3}^{∨} ist eine Varietät, wie die Determinantenrechnung angewandt auf die Matrixdarstellung derselben lehrt. Um nun alle Kegelschnitte des IP^{3} mittels M zu parametrisieren, ist noch die Abgeschlossenheit der durch

Γ := {(x, C_{2}^{∨}) ∈ IP^{3} × M | x ∈ C_{2}^{∨}^{∨} = C_{2}}

definierten Menge in IP^{3} × M zu zeigen. Dazu seien z_{0}, …, z_{3} ∈ IP^{3} vier linear unabhängige Punkte, A_{i} := {C_{2}^{∨} ∈ M | Sing C_{2}^{∨} ∈ z_{i}^{∨}} (das sind die Kegel, deren Spitze in z_{i}^{∨} liegt) und U_{i} := IP^{3}×(M\A_{i}). Betrachtet man die Koeffizienten eines homogenen quadratischen Polynoms f ∈ k[E_{0}^{∨}, …, E_{3}^{∨}] als Koordinaten eines Punktes von M, so werden durch die Gleichungen \frac{∂f}{∂E_{j}^{∨}} (E^{∨}) = 0 (j = 0, …, 3) (d.h. E^{∨} ist Spitze des Kegels) abgeschlossene Mengen B_{i} ⊆ z_{i}^{∨} × M definiert (E^{∨} ∈ z_{i}^{∨}). Aus A_{i} = pr_{M}(B_{i}) folgt die Abgeschlossenheit der A_{i}. Damit liefern die U_{i} eine offene Überdeckung von IP^{3} ×M und man braucht lediglich die Abgeschlossenheit von Γ ∩ U_{i} in U_{i} zu zeigen. Dazu betrachtet man in z_{i}^{∨} × U_{i} die Menge C_{i} aller Tripel (E^{∨}, x, C_{2}^{∨}) welche den Gleichungen

f(E^{∨}) = 0 und x_{k} \frac{∂f}{∂E_{j}^{∨}} (E^{∨}) = x_{j} \frac{∂f}{∂E_{k}^{∨}} (E^{∨})

(0 ≤ k < j ≤ 3, x = (x_{0}, …, x_{3})) (d.h. x proportional zum Koordinatenvektor der Tangentialebene in E^{∨} an den Kegel) genügen. Aus Γ ∩ U_{i} = pr_{U_{i}}(C_{i}) folgt dann die Behauptung.

2.3 Lineare Kurven–Systeme auf Flächen

Im folgenden sei F stets eine irreduzible projektive Fläche im IP^{n} und L ⊆ IP^{ν_{n,d}} ein linearer Unterraum von effektiven Divisoren des IP^{n} vom Grad d und F ⊈ supp l für alle l ∈ L (gegeben durch das entsprechende Polynom, dessen Koeffizienten die Koordinaten des Punktes aus IP^{ν_{n,d}} sind).

Definition: Die durch Γ := {(x, l) ∈ F × L | l(x) = 0} ⊆ F × L definierte algebraische Familie {supp l ∩ F =: C_{l} | l ∈ L} heißt ein lineares System von Kurven auf F.

Nach Satz 1.2.2 ist B := {x ∈ F | pr_{F}^{−1}(x) ∩ Γ = x × L} abgeschlossen und dim B ≤ 1. Aus dim B = 1 folgt dim (B × L) = dim Γ, weshalb B × L eine Komponente von Γ ist. Nun definiert Γ′ := \overline{Γ\(B × L)} ≠ ∅ ebenfalls eine algebraische Familie von Kurven auf F mit der zusätzlichen Eigenschaft, daß die C_{l} := pr_{F} (pr_{L}^{−1}(l) ∩ Γ′) keine Komponente besitzen, welche für alle l ∈ L fest bleibt.

Definition: Die durch Γ′ definierte Familie {C_{l} | l ∈ L} heißt ein lineares System von Kurven auf F ohne feste Bestandteile. Die Menge B heißt Basispunktmenge des Systems (sie ist für ein System ohne feste Bestandteile nach Konstruktion von Γ′ leer oder nulldimensional).

Bemerkung: Die Divisoren l induzieren auf F Divisoren von recht einfachem Typ, welche man lokale Hauptdivisoren von F nennt (sie werden lokal – etwa in affinen Umgebungen – von rationalen Funktionen induziert). In der Literatur werden daher lineare Systeme von Divisoren auf F erklärt. Für singuläre Flächen erweist sich diese Theorie jedoch als recht kompliziert, so daß wir uns hier auf den einfacheren Begriff beschränken.

Lemma 2.3.1. Sei {C_{l} | l ∈ L} ein lineares System und y ∉ B. Dann ist die Menge L_{y} := {l ∈ L | y ∈ C_{l}} eine Hyperebene in L.

Beweis. Betrachtet man l ∈ L als Polynom, und ist f_{1}, …, f_{r} eine Basis von L, so schreibt sich jedes l ∈ L in der Form

l(x) = λ_{1}f_{1}(x) + … + λ_{r}f_{r}(x) mit λ_{1}, …, λ_{r} ∈ k.

Für festes y ∉ B sind f_{1}(y), …, f_{r}(y) feste Zahlen, die nicht alle Null sind. Also wird durch die lineare Gleichung λ_{1}f_{1}(y) + … + λ_{r}f_{r}(y) = 0 in λ_{1}, …, λ_{r} eine Hyperebene in L definiert, welche gerade die Elemente von L_{y} umfaßt.

Lemma 2.3.2. Sei {C_{l} | l ∈ L} ein lineares System mit dim L = 1 (ein solches heißt auch lineares Büschel). Dann gilt C_{l} ∩ C_{l′} = B für alle l, l′ ∈ L mit l ≠ l′.

Beweis. Die Behauptung B ⊆ C_{l} ∩ C_{l′} folgt aus der Definition von B. Um B ⊇ C_{l} ∩ C_{l′} zu zeigen, nehme man x ∈ C_{l} ∩ C_{l′}\B an. Nach Lemma 2.3.1 ist L_{x} eine Hyperebene von L, also ein Punkt und es folgt l = l′.

Satz 2.3.3. Sei {C_{l} | l ∈ L} ein lineares System von Kurven auf F ohne feste Bestandteile mit dim L = 1. Dann gibt es eine algebraische Familie {K_{s}^{d} | s ∈ S} von Kurven auf F, die für eine nichtleere offene Teilmenge S′ ⊆ S der eindimensionalen irreduziblen und projektiven Parametervarietät S irreduzibel und von d–tem Grad sind, so daß zu jedem l ∈ L s_{1}, … s_{j}, ∈ S existieren mit C_{l} = K_{s_{1}}^{d} ∪ … ∪ K_{s_{j}}^{d}.

Beweis. Mit B wird wieder die Basispunktmenge des Systems bezeichnet. Betrachte nun die Abbildung δ : L → C_{1,e}(F) aus Satz 2.2.2. Es gilt C_{l} = supp Z_{δ(l)} . Da L irreduzibel und projektiv ist, gilt dies nach Satz 1.2.1 auch für T := δ(L). Ebenso ist T eindimensional. Falls T ∩ C_{1,e}(F)^{irr} ≠ ∅ gilt, ist man mit S := L fertig, da die Kurven C_{l} für l aus einer nichtleeren offenen Teilmenge von L (beachte die Stetigkeit von δ) dann selbst schon irreduzibel sind. Im anderen Fall betrachten wir die Additionsabbildungen von Zykeln (siehe Anschluß an Satz 2.1.1). Man findet natürliche Zahlen d_{1}, …, d_{j} so daß

T ⊆ \overline{Add(C_{1,d_{1}}(F)^{irr} × … × C_{1,d_{j}}(F)^{irr})}

gilt, d.h. alle bis auf eventuell endlich viele der Kurven C_{l} zerfallen in irreduzible Kurven der Ordnungen d_{1}, …, d_{j}. Sei nun

S′_{i} := pr_{C_{1,d_{i}}(F)}^{irr}(Add^{−1}(T)) ≠ ∅ für i = 1, …, j.

Wir nehmen nun o.B.d.A. S′_{i} als irreduzibel an (andernfalls zerlege man diese in irreduzible Komponenten und numeriere neu durch). Man erhält also nach Satz 2.2.1 j einparametrige algebraische Familien {K_{s}^{d_{i}} | s ∈ S′_{i}} mit K_{s}^{d_{i}} := supp Z_{s} = Z_{s} von irreduziblen Kurven, die wegen der Irreduzibilität von F offene Mengen W_{i} von F überdecken. Nun findet man zu jedem t ∈ T, jedem i und jeder irreduziblen Komponente C ⊆ supp Z_{t} mit C ∩ W_{i} ≠ ∅ ein s_{i} ∈ S′_{i} so daß C = K_{s_{i}}^{d_{i}} gilt. Denn ist x ∈ (C ∩ W_{i})\B ≠ ∅ (B abgeschlossen und höchstens nulldimensional), so gibt es wegen x ∈ W_{i} ein s_{i}^{x} ∈ S′_{i} mit x ∈ K_{s_{i}^{x}}^{d_{i}}. Hierzu gibt es ein t′ ∈ T mit K_{s_{i}^{x}}^{d_{i}} ⊂ supp Z_{t′}. Wegen x ∉ B folgt aus Lemma 2.3.2 t = t′. Da x aus einer nichtleeren offenen Teilmenge von C gewählt werden kann, K_{s_{i}^{x}}^{d_{i}} bei Abänderung von x aber nur die endlich vielen irreduziblen Komponenten von Z_{t} durchlaufen kann, gibt es wegen der Irreduzibilität der Kurven K_{s_{i}^{x}}^{d_{i}} und C ein s_{i} mit C = K_{s_{i}}^{d_{i}} (beachte k unendlich da algebraisch abgeschlossen!). Daher müssen alle d_{i} =: d und S′_{i} =: S′ übereinstimmen. Mit der algebraischen Familie \{K_{s}^{d} | s ∈ S\} (S := \overline{S′}) folgt dann wegen δ(L) = T, T ⊆ Add(\underbrace{S × … × S}_{j−mal}) und S′ ⊆ C_{1,d}(F)^{irr} die Behauptung.

Satz 2.3.4. Sei {C_{l} | l ∈ L} ein lineares System von reduziblen Kurven auf F ohne feste Bestandteile. Dann gibt es zu jedem k ∈ L eine nichtleere offene Menge U ⊆ L, so daß C_{k} ∩ C_{k′} ⊆ B (B = Basispunktmenge) für alle k′ ∈ U gilt.

Beweis. Sei k ∈ L beliebig und C_{k} = C_{k}^{1} ∪ … ∪ C_{k}^{m} die Zerlegung von C_{k} in irreduzible Komponenten. Wegen dim B = 0 oder B = ∅ ist M := {l ∈ L | dim (C_{l} ∩ C_{k}) ≥ 1} eine echte, abgeschlossene Teilmenge von L. Um die Abgeschlossenheit von L einzusehen, betrachte man die Menge A_{k} := {(x, l) ∈ C_{k} × L | x ∈ C_{l}} und wende Satz 1.2.2 (b) auf die Einschränkung der Projektion pr_{L} auf A_{k} an. Die Mengen L_{y} := {l ∈ L | y ∈ C_{l}} sind abgeschlossen nach Lemma 2.3.1 und es gilt L_{y} = L ⟺ y ∈ B. Die Menge K := {y ∈ C_{k} | ∃i, j i ≠ j mit y ∈ C_{k}^{i} ∩ C_{k}^{j}} ist endlich als Schnitt einer endlichen Zahl von irreduziblen Kurven. Also ist N := ⋃_{y∈K\B} L_{y} eine echte abgeschlossene Teilmenge von L. Sei nun k′ ∈ U := L\(M ∪ N ∪ {k}) ≠ ∅. Es wird nun C_{k} ∩ C_{k′} ⊆ B gezeigt: Sei dazu G die Verbindungsgerade der Punkte k, k′ in L und {C_{l} | l ∈ G} das lineare eindimensionale Teilsystem (Büschel) von {C_{l} | l ∈ L} mit der Basispunktmenge B_{G}. Im Fall des linearen Büschels gilt nach Lemma 2.3.2 für alle l, l′ ∈ G C_{l} ∩ C_{l′} = B_{G}. Wegen k′ ∉ M ist dim B_{G} = 0 oder B = ∅. Nun gibt es nach Satz 2.3.3 eine algebraische Familie {K_{s} | s ∈ S} von Kurven, welche auf einer nichtleeren offenen Teilmenge von S irreduzibel sind, so daß es zu jedem l ∈ G s_{1}, …, s_{r} ∈ S gibt mit C_{l} = K_{s_{1}} ∪ … ∪ K_{s_{r}}. Weil alle C_{l} reduzibel sind, muß r ≥ 2 gelten. Sei nun x ∈ C_{k} ∩ C_{k′} = B_{G} gegeben. Da nun x für alle l ∈ G in C_{l} enthalten ist, muß es auch in jeder Kurve K_{s} enthalten sein. Dazu sieht man zunächst ein, daß jedes K_{s} in höchstens einem C_{l} enthalten sein kann. Denn K_{s} enthält ein z ∉ B_{G} und nach Lemma 2.3.2 gibt es nur ein C_{l}, welches dieses enthält. Ist nun {K_{s} | s ∈ S} durch Γ ⊂ IP^{n} ×S definiert, so folgt card(pr_{IP^{n}}^{−1}(x)∩Γ) = ∞, also pr_{IP^{n}}^{−1}(x) ∩ Γ = x × S, da S irreduzibel und die linke Seite der Gleichung abgeschlossen ist. Damit gibt es wegen r ≥ 2 Zahlen i, j ∈ 1, …, r mit i ≠ j und x ∈ C_{k}^{i} ∩ C_{k}^{j}. Man erhält x ∈ K und schließlich wegen k′ ∉ N x ∈ B.

Korollar 2.3.5. Sei F eine irreduzible Fläche im IP^{n} und U^{∨} ⊆ IP^{n}^{∨} die Menge aller Hyperebenen H^{∨}, für die H ∩ F irreduzibel ist. Dann ist U^{∨} offen und nichtleer.

Beweis. Die Basispunktmenge des linearen Systems {F ∩ H | H^{∨} ∈ IP^{n}^{∨}} ist leer. Da aber für H_{1}^{∨}, H_{2}^{∨} ∈ IP^{n}^{∨} der Schnitt (F ∩ H_{1}) ∩ (F ∩ H_{2}) nicht leer ist, können nach Satz 2.3.4 nicht alle F ∩ H reduzibel sein. Damit ist U^{∨} nichtleer. Die Offenheit von U^{∨} ergibt sich aus der Stetigkeit der Abbildung δ : IP^{n}^{∨} → C_{1,d}(F) aus Satz 2.2.2 und der Offenheit von C_{1,d}(F)^{irr}.

Zu den Sätzen dieses Paragraphen vergleiche man [24, S.203ff].

2.4 Haupttangenten und parabolische Punkte

In der Differentialgeometrie interessiert man sich für Parameterkurven C auf einer Fläche F, welche die Eigenschaft besitzen, daß in jedem Punkt x ∈ C die Schmiegebene der Kurve mit der Tangentialebene der Fläche in x zusammenfällt. Solche Kurven heißen Asymptotenlinien und ihre Tangenten Haupttangenten der Fläche in x. Für algebraische Flächen im IP^{3} wollen wir Haupttangenten durch den Schnitt zwischen Tangentialebene und quadratischer Polare definieren.

Definition: Sei F ⊂ IP^{3} eine von einer Ebene verschiedene irreduzible Fläche und x ∈ F^{sm}. Als quadratische Polare in x an F bezeichnen wir die Quadrik mit der Gleichung

Q_{x}F : ∑_{i,j=0}^{3} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)y_{i}y_{j} = 0

in den Unbestimmten y = (y_{0}, …, y_{3}) wobei F die Nullstellenmenge des irreduziblen homogenen Polynoms f ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] ist.

Sei d := deg F = deg f. Wendet man das Eulersche Lemma für homogene Polynome auf \frac{∂f}{∂x_{j}} an, so gilt für j = 0, … 3

(d − 1)\frac{∂f}{∂x_{j}} (x) = ∑_{i=0}^{3} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)x_{i}.  (2.3)

Anwendung des Lemmas auf f ergibt unter Beachtung von (2.3)

d(d − 1)f(x) = ∑_{i,j=0}^{3} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)x_{i}x_{j}.  (2.4)

Da die Körpercharakteristik Null ist und F keine Ebene ist, gilt daher:

x ∈ (Q_{x}F)^{sm} und T_{x}F = T_{x}(Q_{x}F).  (2.5)

Denn für x ∈ Sing (Q_{x}F) wäre die rechte Seite von (2.3) Null. Deshalb ist entweder T_{x}F ⊆ Q_{x}F oder der Schnitt T_{x}F ∩ Q_{x}F zerfällt in Geraden durch x, die wir nun als die Haupttangenten in x ansehen können. Deren geometrische Bedeutung erkennt man aus der Taylorformel:

f(x + ϱy) = \underbrace{f(x)}_{=0} +ϱ ∑_{i=0}^{3} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)y_{i} + ϱ^{2} ∑_{i,j=0}^{3} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)y_{i}y_{j} + …  (2.6)

Es sind also diejenigen Geraden durch x, für deren Schnitt mit F x eine mindestens dreifache Nullstelle ist. Ein Punkt x ∈ F^{sm} für den T_{x}F ∩ Q_{x}F in genau zwei Geraden zerfällt soll nicht parabolisch, alle anderen regulären Punkte aber sollen parabolisch heißen. Da die Tangentialebenen singularitätenfreier Quadriken, diese stets in zwei verschiedenen Geraden schneiden, folgt

x parabolisch ⟺ h(x) := det (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x))_{i,j=0,...,3} = 0.  (2.7)

Die Fläche H := V (h) heißt Hessesche Fläche von F. Also besagt (2.7): x parabolisch ⟺ x ∈ F^{sm} ∩ H. Der Durchschnitt F ∩ H ist entweder eine Kurve, oder aber ganz F. Im ersten Fall nennen wir F ∩ H die parabolische Kurve von F. Um die Frage zu klären in welchem Fall F ⊆ H gelten kann, betrachten wir die Abbildung Θ : F^{sm} → F^{∨} die durch

Θ(x) := (T_{x}F)^{∨} = (\frac{∂f}{∂x_{0}} (x), …, \frac{∂f}{∂x_{3}} (x))  (2.8)

definiert und offensichtlich regulär ist. Nach Satz 1.4.1 ist Θ allgemein glatt, d.h. T_{x}Θ ist für x aus einer nichtleeren offenen Teilmenge U ⊆ F^{sm} surjektiv.

Die Abbildungsmatrix von T_{x}Θ ist gerade die Hessematrix (siehe Paragraph 1.4)

M := (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x))_{i,j=0,...,3} .

Also folgt F ⊆ H genau dann, wenn dim \overline{Θ(F^{sm})} = dim F^{∨} < 2 und man erhält den

Satz 2.4.1. Eine von einer Ebene verschiedene irreduzible Fläche F ist genau dann in ihrer Hesseschen Fläche H enthalten, wenn alle Punkte von F parobolisch sind, was wiederum genau dann zutrifft, wenn die duale Varietät F^{∨} von F eindimensional ist.

Diejenigen Flächen F, für die dim F^{∨} = 1 gilt wollen wir fortan Torsen nennen. Nun werden die Haupttangenten in parabolischen Punkten mit Hilfe der Abbildung Θ charakterisiert.

Satz 2.4.2. Sei F eine irreduzible Fläche im IP^{3} , deg F > 1 , x ∈ F^{sm} und g ⊂ T_{x}F eine Gerade, die x enthält. Dann gilt:

T_{x}Θ(g) = Θ(x) = (T_{x}F)^{∨} ⟺ g ist Haupttangente im parabolischen Punkt x.

Beweis. ‘⇐’: Sei x parabolisch und g Haupttangente. Nach (2.7) ist die Hessematrix M singulär. Faßt man M als Darstellungsmatrix von Q_{x}F auf, so sieht man, daß Q_{x}F ein Kegel ist, dessen Spitze y wegen g ⊂ T_{x}(Q_{x}F) ∩ Q_{x}F (beachte (2.5)) auf g liegt. Aus x ∈ (Q_{x}F)^{sm} folgt x ≠ y. Faßt man nun M als Abbildungsmatrix von T_{x}Θ auf, so sieht man, daß alle Geraden durch y, insbesondere auch g, auf Punkte aus T_{Θ(x)}F^{∨} abgebildet werden. Wegen (2.3) kann dies im Fall von g nur Θ(x) sein. ‘⇒’: Nach der Voraussetzung ist M (als Abbildungsmatrix von T_{x}Θ) singulär, also x parabolisch (2.7). Da g auf einen Punkt abgebildet wird muß es ein (gemäß (2.5) von x verschiedenes) y ∈ g geben mit My = 0. Dann ist y Spitze des Kegels Q_{x}F . Also ist g eine Erzeugende des Kegels und daher wegen g = T_{x}(Q_{x}F) ∩ Q_{x}F Haupttangente in x an F (beachte (2.5)).

Satz 2.4.3. Sei C ⊆ F ∩ H eine irreduzible Komponente der parabolischen Kurve von F und für alle x ∈ C^{sm} ∩ F^{sm} sei T_{x}C Haupttangente in x an f. Dann gibt es eine Ebene E ⊂ IP^{3} , so daß C ⊆ Cont_{E}F gilt.

Beweis. Sei K^{∨} := \overline{Θ(C)}. Die Abbildung Θ_{|C^{sm}} ist allgemein glatt, also gibt es ein nichtleeres offenes C′ ⊆ C^{sm}, so daß für alle x ∈ C′ T_{x}Θ : T_{x}C → T_{Θ(x)}K^{∨} surjektiv ist. Nach Satz 2.4.2 ist T_{x}Θ(T_{x}C) = Θ(x) und daher dim T_{Θ(x)}K^{∨} = 0 für alle x ∈ C′. Somit ist K^{∨} nulldimensional (für alle E^{∨} ∈ (K^{∨})^{sm} gilt ja dim T_{E^{∨}}K^{∨} = dim K^{∨}) und irreduzibel (nach Satz 1.2.1 (b), da C irreduzibel) also ein Punkt E^{∨} im IP^{3}^{∨}. Nun folgt: C ⊆ Cont_{E}F = \overline{Θ^{−1}(E^{∨})}.

Der folgende Satz wird nur für Flächen vierter Ordnung bewiesen, obwohl er sich recht einfach für beliebige Ordnung verallgemeinern läßt.

Satz 2.4.4. Sei F eine irreduzible Fläche im IP^{3} , deg F = 4, dim F^{∨} = 2 und C = F ∩ H die parabolische Kurve von F. Ferner sei x ∈ C^{sm} ∩ F^{sm} ein fester Punkt und g die Haupttangente in x an F. Dann gilt:

g ⊂ F ∨ g ∩ F = {x} ⟺ g = T_{x}C

Beweis. Wähle Koordinaten so, daß x = (1, 0, 0, 0), T_{x}F = V (x_{3}) und g = V ({x_{2}, x_{3}}) ist. Die Gleichung von F = V (f) ist dann von der Gestalt:

f = x_{0}^{3}x_{3} + x_{0}^{2}(a_{0}x_{2}^{2} + x_{3}(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3})) + x_{0}u_{3} + u_{4}  (∗)

wobei a_{0}, …, a_{3} ∈ k, u_{3}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] mit deg u_{3} = 3, deg u_{4} = 4 gilt. Die Koeffizienten von u_{3} bezeichnen wir durch

u_{3} = ∑_{i_{1}+i_{2}+i_{3}=3} a_{i_{1}i_{2}i_{3}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}.

Mit M bezeichnen wir wieder die Hessematrix, und mit H = V (h) die Hessefläche von F.

1. Fall: x ∈ H^{sm} und T_{x}F ≠ T_{x}H In diesem Fall gilt T_{x}C = T_{x}F ∩ T_{x}H . Seien a, b, c ∈ k mit T_{x}H = V (ax_{1} + bx_{2} + cx_{3}). Wegen T_{x}C = V (\{x_{3}, ax_{1} + bx_{2} + cx_{3}\}) genügt es a = \frac{∂h}{∂x_{1}} (x) = 0 zu zeigen. Aus h = det M ergibt sich mit der Kettenregel:

\frac{∂h}{∂x_{k}} (x) = ∑_{i,j=0}^{3}(−1)^{i+j}h_{ij}(x) \underbrace{\frac{∂^{3}f}{∂x_{i}∂x_{j}∂x_{k}} (x)}_{=:β_{ijk}}  (∗∗)

wobei h_{ij} die 3 × 3–Unterdeterminanten von h sind, die durch Streichen der i–ten Zeile und j –ten Spalte entstehen. Man berechnet nun die Hessematrix

M(x) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & a_{1} \\ 0 & 0 & 2a_{0} & a_{2} \\ 3 & a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix} )

und daraus

(h_{ij}(x))_{i,j=0,...,3} = ( \begin{matrix}−2a_{0}a_{1}^{2} & −6a_{0}a_{1} & 0 & 0 \\ −6a_{0}a_{1} & −18a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Nun ermittelt man die noch fraglichen Zahlen β_{ijk} : β_{001} = 0, β_{011} = 0, β_{111} = 6a_{300}, β_{002} = 0, β_{012} = 0, β_{112} = 2a_{210}, β_{003} = 6, β_{013} = 2a_{1}, β_{113} = 2a_{201}.

Also ergibt sich aus Gleichung (∗∗): (a, b, c) = (3a_{300}, a_{210}, a_{201}). Daraus resultiert folgende Äquivalenzkette: g = T_{x}C ⟺ a_{300} = 0 ⟺ f(x_{0}, x_{1}, 0, 0) = a_{1111}x_{1}^{4} ⟺ g ⊂ F ∨ g ∩ F = {x}.

2. Fall: Gegenteil von Fall 1. Der zweite Fall tritt in (∗) genau dann auf, wenn a_{300} = 0 und a_{210} = 0 ist, denn für a_{210} ≠ 0 oder a_{300} ≠ 0 folgt sofort x ∈ H^{sm} und T_{x}H = V (3a_{300}x_{1} + a_{210}x_{2} + a_{201}x_{3}) ≠ T_{x}F . Man kann den Fall 2 durch Grenzübergang aus dem ersten gewinnen. Man betrachte die beiden folgenden algebraischen Familien von Flächen: Das lineare System F_{z} := V (λf + μx_{0}x_{1}^{2}x_{2}) für z := (λ, μ) ∈ IP^{1} und die Hesseflächen H_{z} zu F_{z}. Für F_{z} gilt nun a_{300} = 0 und a_{210} = μ, so daß auf diese Flächen der erste Fall angewandt werden kann. Die parabolischen Kurven C_{z} = F_{z} ∩ H_{z} von F_{z} durchlaufen ebenfalls eine algebraische Familie von Kurven (dazu schneide man die zu {F_{z} | z ∈ IP^{1}} und {H_{z} | z ∈ IP^{1}} gehörigen Mengen Γ_{1}, Γ_{2} ⊂ IP^{3} × IP^{1} ). Nun gilt x ∈ C_{z}^{sm} für alle z ∈ IP^{1} und T_{x}C_{z} = g = T_{x}F_{z} ∩ T_{x}H_{z} für alle z ≠ (λ, 0). Ist nun {C_{z} | z ∈ IP^{1}} durch Γ = Γ_{1} ∩ Γ_{2} ⊂ IP^{3} × IP^{1} gegeben und sind f_{1}, …, f_{r} Polynome deren Nullstellenmenge Γ ist, so haben die Tangenten T_{x}C_{z} die linearen Gleichungen ∑_{i=0}^{3} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} (x, z)y_{i} = 0 (j = 1, …, r) in den Unbestimmten y_{i}. Für z ∈ IP^{1}\\{(λ, 0)\} ist dann wegen g = T_{x}C_{z} \frac{∂f_{j}}{∂x_{0}} (x, z) = \frac{∂f_{j}}{∂x_{1}} (x, z) = 0 für j = 1, …, r. Folglich verschwinden diese Polynome identisch in z und da wir x ∈ C^{sm} vorausgesetzt haben, ergibt sich T_{x}C = T_{x}C_{(λ,0)} = g (zum Beweis vergleiche man [16, S.648]).

Zu den Ausführungen dieses Paragraphen siehe [4, S.637, 652 u. 665] sowie [16, S.29].

2.5 Einiges über Regelflächen

Die Menge aller Geraden des IP^{3} identifizieren wir im folgenden anstelle der Chow–Varietät C_{1,1}(IP^{3}) mit der Plückerquadrik im IP^{5} , die wir mit P bezeichnen. Es wird daran erinnert, daß die Plückerkoordinaten einer Gerade g ⊂ IP^{3} mittels zweier verschiedener Punkte x, y ∈ g durch die 6 Unterdeterminanten

p_{ij} der Matrix A := ( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{0} & y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) berechnet werden, wobei i, j für

die entsprechenden Spalten von A stehen. Entsprechend der Menge Γ_{1,1} aus Satz 2.2.1 erhält man die abgeschlossene Menge Γ_{1} := {(x, g) ∈ IP^{3}×P | x ∈ g}. Die Gleichungen von Γ_{1} sind: ∑_{i=0}^{3} p_{ij}x_{i} = 0 für j = 0, … 3 und die der Plückerquadrik ist: p_{01}p_{23} − p_{02}p_{13} + p_{03}p_{12} = 0. Damit können wir fortan algebraische Familien von Geraden durch Untervarietäten der Plückerquadrik definieren. Andererseits sieht man in Analogie zu Satz 2.1.1 leicht, daß die Menge aller Geraden auf einer projektiven Fläche F eine Untervarietät der Plückerquadrik P darstellt, die wir mit P (F) bezeichnen wollen (siehe [21, S.63]). Umgekehrt ist zu einer eindimensionalen projektiven Varietät S ⊂ P die Menge

F_{S} := {x ∈ IP^{3} | ∃g ∈ S x ∈ g}  (2.9)

eine projektive Fläche, denn mit Γ_{S} := pr_{P}^{−1}(S) ∩ Γ_{1} sieht man mit Satz 1.2.2 (angewandt auf pr_{P}) dim Γ_{S} = 2 und da F_{S} = pr_{IP}^{3}(Γ_{S}) offenbar nicht eindimensional sein kann, liefert derselbe Satz dim F_{S} = 2.

Als Regelflächen sollen hier irreduzible projektive Flächen bezeichnet werden, die mit jedem Punkt eine Gerade durch diesen enthalten. Die Flächen F_{S} sind also solche. Die Regelflächen des IP^{3} sind durch die Bedingung dim P (F) ≥ 1 gekennzeichnet. Eine besondere Behandlung der Regelflächen ist hier deshalb von Interesse, weil für sie offenbar stets dim C_{1,2}(F) ≥ 1 gilt, obwohl durchaus dim C_{1,2}(F)^{irr} = 0 oder sogar C_{1,2}(F)^{irr} = ∅ sein kann. Daher werden uns die Regelflächen im Kapitel 3 besondere Mühe bereiten.

Satz 2.5.1. Sei F eine von einer Ebene verschiedene Regelfläche im IP^{3} und C eine irreduzible Kurve auf F. Falls C selbst eine Gerade ist, werde vorausgesetzt, daß jeder Punkt von C auf einer weiteren Gerade von F liegt. Dann gibt es zu jedem x ∈ F eine Gerade g ∈ P (F) mit x ∈ g und g ∩ C ≠ ∅

Beweis. Die Menge K_{C} := {g ∈ P | g∩C ≠ ∅} definiert einen Geradenkomplex (Schnitt von P mit einer abgeschlossenen Hyperfläche im IP^{5} , deren Gleichung man etwa durch geeignete Substitution aus der zugeordneten Form f_{C} von C erhält). Die Menge S := K_{C} ∩ P (F) ist eine projektive Varietät, die nach der Voraussetzung des Satzes mindestens eindimensional ist (durch jeden Punkt von C gibt es eine von C verschiedene Gerade aus P (F), die ihn enthält). Nun ist aber P (F) genau eindimensional, denn wäre dim P (F) ≥ 2, so müßte F ein Kegel sein und jeder ihrer Punkte eine Spitze davon, was aber nur für Ebenen möglich ist (beachte, daß durch jeden Punkt von F in diesem Fall eine einparametrige Familie von Geraden gehen muß). Damit ist dim S = 1 und man kann die oben definierte Fläche F_{S} (2.9) betrachten. Offensichtlich gilt F_{S} ⊆ F, und da F irreduzibel ist, folgt F_{S} = F, wodurch der Satz gezeigt ist.

Korollar 2.5.2. Sei F eine Regelfläche im IP^{3} und E eine Ebene mit E ≠ F. Dann besitzt die Schnittkurve E ∩F höchstens eine irreduzible Komponente, die keine Gerade ist.

Beweis. Man kann annehmen, daß F keine Ebene ist. Wir nehmen nun zwei verschiedene irreduzible Kurven C, C′ ⊂ E ∩F an, die keine Geraden sind. Nun gibt es ein x ∈ C\\overline{((E ∩ F)\C)} und dazu nach Satz 2.5.1 eine Gerade g mit x ∈ g ⊂ F und g ∩C′ ≠ ∅. Weil nun g zwei verschieden Punkte von E enthält, hat man g ⊂ E. Das kann aber nur im Fall g ⊂ \overline{(E ∩ F)\C} möglich sein, da C ja keine Gerade ist und dies würde x ∈ \overline{(E ∩ F)\C} bedeuten im Widerspruch zur Wahl von x.

Satz 2.5.3. Sei F eine Regelfläche im IP^{3} und deg F ≥ 3. Dann ist P (F) eindimensional und der rein eindimensionale Anteil P (F)^{1} von P (F) irreduzibel.

Beweis. Daß die Dimension von P (F) nur im Fall einer Ebene F größer als 1 sein kann, wurde bereits im Beweis von Satz 2.5.1 bemerkt. Wir nehmen nun an, daß sich P (F)^{1} in r ≥ 2 irreduzible Komponenten C_{1} ∪ … ∪ C_{r} = P (F)^{1} zerlegen läßt. Da F irreduzibel ist folgt F = F_{C_{i}} für i = 1, …, r (Bez. gemäß (2.9)). Für j ≠ 1 ist M_{j} := C_{1}\C_{j} nichtleer und offen in C_{1} . Zu jeder Gerade g ∈ M_{j} und jedem x ∈ g gibt es eine Gerade h_{x} ∈ C_{j} mit x ∈ h_{x} (da F = F_{C_{j}}) und weil für zwei verschiedene Punkte x, y ∈ g h_{x} ≠ h_{y} gilt, folgt C_{j} ⊂ K_{g}, wobei K_{g} := {h ∈ P | g ∩ h ≠ ∅} den speziellen linearen Geradenkomplex mit Leitgerade g darstellt. Die Polarenabbildung π : IP^{5} → IP^{5}^{∨} bezüglich der Plückerquadrik (diese besitzt die Darstellungsmatrix der Plückerquadrik als Abbildungsmatrix) bildet P auf P^{∨} ab. Sei H_{g} ⊂ IP^{5} diejenige Hyperebene, die dem Punkt π(g) ∈ IP^{5}^{∨} entspricht (H_{g}^{∨} = π(g)). Dann gilt H_{g} = T_{g}P und aus allgemein bekanntem über spezielle lineare Geradenkomplexe folgt K_{g} = P ∩ H_{g}. Sei D_{1}^{∨} := π(C_{1}) und L^{∨} die projektive Hülle von D_{1}^{∨} (kleinster Unterraum, welcher D_{1}^{∨} enthält). Wenn etwa die s linear unabhängigen Punkte H_{g_{1}}^{∨}, …, H_{g_{s}}^{∨} mit g_{1}, …, g_{s} ∈ C_{1} den Raum L^{∨} aufspannen, so gilt L := L^{∨}^{∨} = H_{g_{1}} ∩ … ∩ H_{g_{s}}. Wegen C_{j} ⊆ P ∩ H_{g} für alle g ∈ C_{1}\C_{j} erhält man C_{j} ⊆ L und wegen D_{1}^{∨} ⊆ L^{∨} ist sicherlich dim L^{∨} ≥ 1.

1. Fall: dim L^{∨} = 1 Dann ist C_{1} = π^{−1}(D_{1}^{∨}) eine Gerade (da π Projektivität). Demnach bilden die zu C_{1} gehörigen Geraden ein in einer Ebene E ⊂ IP^{3} gelegenes Geradenbüschel. Das würde aber E ⊂ F bedeuten, was unmöglich ist.

2. Fall: dim L^{∨} ≥ 3 In diesem Fall folgt dim L = 1, so daß C_{j} notwendigerweise eine Gerade ist, und man erhält denselben Widerspruch wie im ersten Fall.

3. Fall: dim L^{∨} = 2 Nun ist C_{1} in der Ebene R := π^{−1}(L^{∨}) ⊂ IP^{5} enthalten. Im Unterfall R ⊄ P ist C_{1} ein Kegelschnitt auf P. In diesem Fall sieht man deg F = 2, da für eine beliebige Gerade h ∈ P der Komplex K_{h} den Kegelschnitt C_{1} enthält oder in zwei Elementen schneidet. Wegen F = F_{C_{1}} bedeutet dies aber entweder h ⊂ F oder card(h∩F) ≤ 2, woraus mit Satz 2.1.3 deg F ≤ 2 folgt. Für den Fall, daß R ⊂ P gilt, liegen entweder alle Geraden von R in einer festen Ebene E ⊂ IP^{3} , woraus sich abermals der Widerspruch E ⊆ F ergibt, oder alle Geraden von R gehen durch einen festen Punkt x ∈ IP^{3} und F ist folglich ein Kegel mit Spitze x. Da es nach Voraussetzung auf F noch eine Gerade l ⊂ F mit x ∉ l geben muß, sieht man, daß nun die Verbindungsebene von x und l in F enthalten ist (durch jeden Punkt von l gibt es eine Gerade von C_{1} ), was wiederum nicht sein kann.

Es wird an den letzten Paragraphen erinnert, in dem Torsen als irreduzible projektive Flächen des IP^{3} eingeführt wurden, deren duale Varietät eine Kurve im IP^{3}^{∨} ist.

Satz 2.5.4. Sei F eine Torse. Dann ist der Berührort jeder Ebene E^{∨} ∈ F^{∨} eine Gerade von F. Insbesondere ist also F eine Regelfläche.

Beweis. Die Conormale Varietät CF der Fläche F ist ebenfalls zweidimensional (vgl. Beweis von Satz 1.6.4). Daher gilt für alle E^{∨} ∈ F^{∨} : dim Cont_{E}F = 1. Also ist {Cont_{E}F | E^{∨} ∈ F^{∨}} eine algebraische Familie. Betrachte die nach Satz 2.2.2 existierende Abbildung δ : F^{∨} → C_{1,d}(F). Nach Satz 1.6.3 und 2.2.2 ist d = 1. Aus Cont_{E}F = supp Z_{δ(E^{∨})} folgt nun die Behauptung.

Als nächstes soll gezeigt werden, daß für Regelflächen F der singuläre Ort Sing F stets eindimensional ist. Zur Vorbereitung dient folgendes wichtige Lemma, das auch im weiteren Verlauf so häufig verwendet wird, daß nicht jedesmal Bezug darauf genommen werden kann. Die Schnitte einer Hyperfläche X mit einer Hyperebene H werden wir des öfteren als einen Divisor von H auffassen, und zwar auf folgende Weise: Das homogene Polynom f (ohne mehrfache Faktoren), dessen Nullstellenmenge X ist, induziert auf H einen sogenannten lokalen Hauptdivisor von H (siehe [21, S.132]). Die Vielfachheiten seiner Komponenten ermittelt man am einfachsten, indem man Koordinaten so wählt, daß H = V (x_{n}) gilt, und die Vielfachheiten der irreduziblen Faktoren des Polynoms f_{|x_{n}=0} := f(x_{0}, …, x_{n−1}, 0) ∈ k[x_{0}, …, x_{n−1}] betrachtet. Um diesen Divisor vom mengentheoretischen Schnitt X ∩ H zu unterscheiden, schreiben wir: (X ∩ H)^{div} (vgl. Bemerkung 2.1.6). Man erinnere sich an die Definition der Vielfachheit μ_{x}(D) eines Punktes x bezüglich eines Divisors D ((1.2), (2.1)).

Lemma 2.5.5. Sei X eine Hyperfläche und H eine Hyperebene im IP^{n}. Dann gilt für x ∈ H:

(a) μ_{x}(X) ≤ μ_{x}((X ∩ H)^{div})

(b) μ_{x}(X) < μ_{x}((X ∩ H)^{div}) ⟺ H ⊆ TC_{x}F

Beweis. Wähle Koordinaten so, daß x = (1, 0, …, 0) und H = V (x_{n}) ist. Ist nun X Nullstellenmenge des Polynoms f, so besitzt f die Form (vgl Paragraph 1.5):

f = x_{0}^{m−s}g_{s} + x_{0}^{m−s−1}g_{s+1} + … + g_{m}

wobei g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] homogen vom Grad i sind. Nun entspricht dem Divisor (X ∩ H)^{div} das homogene Polynom

f_{|x_{n}=0} = x_{0}^{m−s}g_{s|x_{n}=0} + … + g_{m|x_{n}=0}

woraus die Behauptung des Lemmas wegen TC_{x}F = V (g_{s}) folgt (beachte, daß g_{s|x_{n}=0} ≡ 0 genau dann gilt, wenn g_{s} von x_{n} geteilt wird).

Satz 2.5.6. Für eine Regelfläche F mit deg F ≥ 3 gilt dim Sing F = 1 oder F ist ein Kegel.

Beweis. Sei zunächst F eine von einem Kegel verschiedene Torse (d.h. es gilt dim F^{∨} = 1). Sei g ⊂ F eine Erzeugende, d.h. es gebe eine Ebene E ⊂ IP^{3} mit g = Cont_{E}F . Da sicherlich F^{∨} irreduzibel (wende Satz 1.2.1 auf die Abbildung Θ aus Paragraph 2.4 an) und daher F^{∨} ⊄ g^{∨} ist, gibt es eine Ebene E′^{∨} ∈ g^{∨}\F^{∨}. Diese schneidet F in g und einer weiteren Kurve C und es gibt einen Punkt x ∈ C ∩ g. Für einen solchen gilt aber μ_{x}((F ∩ E′)^{div}) = μ_{x}(C) + μ_{x}(g) ≥ 2. Wäre x regulär, so wäre E′ = T_{x}F (Lemma 2.5.5) im Widerspruch zur Wahl E′^{∨} ∉ F^{∨}. Damit gibt es auf jeder Erzeugenden von F einen singulären Punkt, und da F kein Kegel ist, folgt dim Sing F = 1. Nun betrachten wir den Fall dim F^{∨} = 2. Es wird wieder die Abbildung Θ : F^{sm} → F^{∨} aus Paragraph 2.4 verwendet. Nach Satz 2.4.1 ist U := F^{sm}\(H ∪ Θ^{−1}(Sing F^{∨})) offen und nichtleer (H = Hessefläche!). Sei g ⊂ F eine Gerade mit g ∩ U ≠ ∅. Derartige Geraden bilden eine nichtleere offene Teilmenge von P (F). Zu x ∈ g ∩ U betrachte man die Ebene E := T_{x}F . Sei C der Divisor mit (F ∩ E)^{div} = g + C. Nach Satz 2.1.4 ist deg C ≥ 2. Nun ist μ_{x}(g + C) = 2, denn wäre μ_{x}(g + C) ≥ 3, so wäre T_{x}F in der quadratischen Polaren Q_{x}F enthalten (siehe (2.6)), also x parabolisch im Gegensatz zur Wahl x ∉ H. Daher gilt μ_{x}(C) = 2 − μ_{x}(g) = 1. Die Tangente T_{x}C ist von g verschieden, da sie genauso wie g eine Haupttangente ist (siehe (2.6)) und x kein parabolischer Punkt ist. Nun ergibt Satz 2.1.5 (C, g)_{x} = 1 und nach Satz 2.1.4 gibt es wegen deg C ≥ 2 einen von x verschiedenen Schnittpunkt y zwischen g und C. Aus (T_{x}F)^{∨} ∉ Sing F^{∨} ergibt sich, daß der Berührort von T_{x}F und F gerade x ist und daher liefert Lemma 2.5.5 y ∈ Sing F (wegen μ_{y}((F ∩ E)^{div}) = μ_{y}(g) + μ_{y}(C) ≥ 2). Also enthalten alle bis auf endlich viele Geraden auf F einen singulären Punkt, woraus wiederum dim Sing F = 1 folgt.

Als weitere Anwendung von Lemma 2.5.5 wird schließlich noch ein Satz angefügt, den man sehr einfach aus Korollar 2.5.2 erhält und der im Kapitel 3 zahlreiche Anwendungen findet. Es wird daran erinnert, daß hier unter einem Kegelschnitt stets eine irreduzible Kurve zweiter Ordnung verstanden wird. Die eindeutig bestimmte Ebene des IP^{3} , in der diese liegt, wird als die zugehörige Trägerebene bezeichnet.

Satz 2.5.7. Sei F eine Regelfläche vierter Ordnung im IP^{3} und C_{2} ⊂ F sowie C_{2} ⊈ Sing F ein Kegelschnitt mit Trägerebene E. Dann gibt es (eventuell übereinstimmende) Geraden g_{1}, g_{2} ⊂ F, so daß (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g_{1} + g_{2} gilt.

Beweis. Angenommen, es wäre (F ∩ E)^{div} = C_{2} + C′_{2} mit einem Kegelschnitt C′_{2} , so ist C_{2} = C′_{2} nach Korollar 2.5.2. Wegen C_{2} ⊈ Sing F ist aber auch dies nicht möglich, denn für einen (bezüglich F) regulären Punkt x ∈ C_{2} erhält man aus der Bedingung μ_{x}((F ∩ E)^{div}) = μ_{x}(2C_{2}) = 2 mit Lemma 2.5.5 T_{x}F = E. Nun existiert eine Gerade g ⊂ F mit x ∈ g, da F eine Regelfläche ist, und es ergibt sich der Widerspruch g = T_{x}g ⊂ T_{x}F = E. Wegen deg (F ∩ E)^{div} = 4 bleibt daher nur noch die im Satz angegebene Möglichkeit übrig.

2.6 Sonstige Hilfssätze

Satz 2.6.1. Sei F eine irreduzible Fläche im IP^{3} mit einer irreduziblen Kurve C ⊆ Sing_{r}F (Bez. siehe 1.5), die aber nicht in Sing_{r+1}F enthalten ist, für ein r ∈ IN gegeben. Dann gilt für alle x ∈ C^{sm}\Sing_{r+1}F (offen in C!):

(TC_{x}F)^{∨} ⊆ (T_{x}C)^{∨},

d.h. TC_{x}F zerfällt in Ebenen durch T_{x}C .

Beweis. Der Nachweis wird durch vollständige Induktion über r geführt. Im Fall r = 1 ist die Behauptung des Satzes sofort klar, da nun TC_{x}F = T_{x}F gilt. Für r ≥ 2 nehme man die Gültigkeit des Satzes für alle s ≤ r − 1 an. Zunächst sei bemerkt, daß

T_{x}C ⊂ TC_{x}F für alle x ∈ C^{sm}  (∗)

gilt. Denn das irreduzible homogene Polynom f, dessen Nullstellenmenge F ist, ist auf Grund von C ⊂ F im homogenen Ideal I(C) enthalten. Schreibt man für x ∈ C^{sm} das Polynom f in der Gastalt (1.1), so gilt nach Definition des Tangentenkegels TC_{x}C ⊂ V (f_{d−m}) = TC_{x}F . Unter Berücksichtigung von T_{x}C = TC_{x}C folgt (∗). Sei nun F und C mit C ⊆ Sing_{r}F , C ⊈ Sing_{r+1}F und x ∈ C^{sm}\Sing_{r+1}F gegeben. Da der Satz für m := deg F ≤ 2 klar ist (hier gilt stets r = 0, da F höchstens eine Singularität besitzt), kann man m > 2 annehmen und Koordinaten so wählen, daß x = (1, 0, 0, 0) und T_{x}C = V ({x_{2}, x_{3}}) ist. Es folgt f = x_{0}^{m−r}g_{r} + x_{0}^{m−r−1}g_{r+1} + … + g_{m} mit g_{i} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] homogen vom Grad i und g_{r} ≢ 0 (also TC_{x}F = V (g_{r})). Es ist zu zeigen, daß nun sogar g_{r} ∈ k[x_{2}, x_{3}] ist. Nehme zunächst \frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ≢ 0 an. Mit D bezeichnen wir den zur homogenen Form \frac{∂f}{∂x_{2}} gehörigen Divisor: D = ∑_{i=1}^{l} k_{i}D_{i}, wobei D_{i} Primdivisoren (= irreduzible Flächen) sind. Die Charakterisierung (1.2) der Vielfachheiten μ_{x}(X) bleibt, wie schon bemerkt, auch für Divisoren des IP^{n} richtig, so daß für alle y ∈ C μ_{y}(D) ≥ r − 1 und wegen \frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ≢ 0 darüberhinaus

μ_{x}(D) = r − 1 = ∑_{i=1}^{l} k_{i} \underbrace{μ_{x}(D_{i})}_{=:r_{i}}  (∗∗)

gilt (Bemerkung im Anschluß an Gleichung (1.2)). Seien nun s_{i} die eindeutig bestimmten Zahlen mit C ⊆ Sing_{s_{i}}D_{i} und C ⊈ Sing_{s_{i}+1}D_{i}. Zunächst gilt sicherlich r_{i} ≥ s_{i} für i = 1, …, l. Angenommen es gäbe ein i_{0} mit r_{i_{0}} > s_{i_{0}} . Dann müßte es auch eine nichtleere offene Menge U ⊆ C^{sm} geben, so daß für alle y ∈ U die Vielfachheit μ_{y}(D) kleiner als r − 1 ist (nach (∗∗)), was aber bereits ausgeschlossen wurde. Damit gilt r_{i} = s_{i} und s_{i} ≤ r − 1. Nun kann man für r_{i} > 0 die Induktionsvoraussetzung auf die Flächen D_{i} und die Kurve C anwenden, denn es gilt für alle i: x ∈ Sing_{r_{i}}D_{i} und x ∉ Sing_{r_{i}+1}D_{i}. Aus (TC_{x}D_{i})^{∨} ⊆ (T_{x}C)^{∨} folgt wegen TC_{x}(D_{1} ∪ … ∪ D_{r}) = V (\frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ) zunächst \frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ∈ k[x_{2}, x_{3}] . Auf völlig analoge Weise sieht man \frac{∂g_{r}}{∂x_{3}} ∈ k[x_{2}, x_{3}] . Nun schreibt man g_{r} = λx_{1}^{r} + x_{1}^{r−1}h_{1} + … + h_{r} mit h_{i} ∈ k[x_{2}, x_{3}] . Aus \frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ∈ k[x_{2}, x_{3}] oder \frac{∂g_{r}}{∂x_{2}} ≡ 0 folgt h_{1}, …, h_{r−1} ∈ k[x_{3}] und aus derselben Bedingung für die Ableitung nach x_{3} andererseits h_{1}, …, h_{r−1} ∈ k[x_{2}], also h_{1}, …, h_{r−1} ≡ 0 (beachte, daß die Körpercharakteristik von k Null ist). Man erhält g_{r} = h_{r}+λx_{1}^{r} mit h_{r} ∈ k[x_{2}, x_{3}] und λ ∈ k. Aus (∗) folgt nun λ = 0 womit der Satz gezeigt ist.

Korollar 2.6.2. Sei F eine irreduzible projektive Fläche im IP^{3} und T^{∨} ⊆ F^{∨} eine eindimensionale abgeschlossene Untervarietät der dualen Varietät von F. Dann gibt es eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} von T^{∨}, so daß für alle E^{∨} ∈ T̃^{∨} die Enthaltenseinsbeziehung Cont_{E}F ⊆ Cont_{E}T gilt (T := T^{∨}^{∨}).

Beweis. Für dim F^{∨} = 1 folgt T^{∨} = F^{∨} und die Behauptung ergibt sich aus der Bidualität von F. Im Fall dim F^{∨} = 2 gibt es eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} ⊆ (T^{∨})^{sm} derart, daß für alle E^{∨} ∈ T̃^{∨} dim Cont_{E}F = 0 und nach Satz 2.6.1 weiterhin (TC_{E^{∨}}F^{∨})^{∨} ⊆ (T_{E^{∨}}T^{∨})^{∨} gilt. Nun liefert Teil (b) von Satz 1.6.2 Cont_{E}F = (TC_{E^{∨}}F^{∨})^{∨} und Teil (a) des gleichen Satzes ergibt (T_{E^{∨}}T^{∨})^{∨} ⊆ Cont_{E}T (vgl. auch Beweis von Satz 1.6.3), was zusammengenommen die Behauptung des Korollars ergibt.

Bemerkung: T ist eine Torse oder Gerade. Nach Satz 2.5.4 ist daher Cont_{E}F für die betreffenden Ebenen E in einer Geraden enthalten.

Satz 2.6.3. Sei {C_{s} | s ∈ S} eine eindimensionale irreduzible algebraische Familie von irreduziblen ebenen Kurven C_{s} mit deg C_{s} > 1. Dann ist T^{∨} := {E^{∨} ∈ IP^{3}^{∨} | ∃s ∈ S : C_{s} ⊂ E} eine irreduzible Varietät mit dim T^{∨} ≤ 1, die wir Varietät der Trägerebenen von {C_{s} | s ∈ S} nennen.

Beweis. Sei I ⊂ IP^{3}^{∨} × IP^{3} die Inzidenzrelation: (E^{∨}, x) ∈ I :⟺ x ∈ E. Offensichtlich ist I eine projektive Varietät. Die Parametervarietät S sei in IP^{m} enthalten und Γ ⊆ IP^{3} × S die abgeschlossene Menge, durch welche die gegebene algebraische Familie definiert ist. Betrachte die Varietät A := (IP^{3}^{∨} × Γ) ∩ (I × S) ⊂ IP^{3}^{∨} × IP^{3} × IP^{m}. Da pr_{IP^{3}^{∨}×IP^{m}} auf \overline{A} regulär ist, ist auch B := pr_{IP^{3}^{∨}×IP^{m}}(A) eine Varietät (Satz 1.2.1 (d)). Nach Satz 1.2.2 ist die Menge C := {(E^{∨}, s) ∈ IP^{3}^{∨} × S | dim (pr_{IP^{3}^{∨}×IP^{m}}^{−1}(E^{∨}, s) ∩ A) ≥ 1} abgeschlossen in B, und daher ist mit dem gleichen Argument wie oben auch D^{∨} := pr_{IP}_{3}^{∨}(C) eine Varietät. Behauptung: T^{∨} = D^{∨}. ‘T^{∨} ⊇ D^{∨} ’: Zu E^{∨} ∈ D^{∨} gibt es ein s ∈ S mit dim (pr_{IP^{3}^{∨}×IP^{m}}^{−1}(E^{∨}, s)∩A) ≥ 1. Das heißt aber dim (E∩C_{s}) ≥ 1 und weil C_{s} irreduzibel ist, erhält man C_{s} ⊂ E also E^{∨} ∈ T^{∨}. ‘T^{∨} ⊆ D^{∨} ’: Zu E^{∨} ∈ T^{∨} gibt es ein s ∈ S mit C_{s} ⊂ E. Demzufolge gilt dim (pr_{IP^{3}^{∨}×IP^{m}}^{−1}(E^{∨}, s) ∩ A) ≥ 1 und folglich E^{∨} ∈ D^{∨}. Um dim T^{∨} ≤ 1 zu zeigen, wird zunächst bemerkt, daß für alle s ∈ S wegen der Irreduzibilität von C_{s} und deg C_{s} > 1 die Faser pr_{S}^{−1}(s) ∩ B (in IP^{3}^{∨} × S) nulldimensional ist, weil somit C_{s} nur in einer Ebene liegen kann. Da nun die Parametervarietät S nach Voraussetzung eindimensional ist, folgt dim B = 1 und daraus dim T^{∨} ≤ 1. Wäre T^{∨} reduzibel, so notwendigerweise nach Definition von D^{∨} auch C. Da die Einschränkung der Projektion pr_{S} auf C jedoch injektiv ist, kann dies auf Grund der Irreduzibilität von S nicht sein.

Klassifikation

Nun wenden wir uns der Klassifikation der Quartiken F_{4} (irreduzible projektive Flächen des IP^{3} von viertem Grad) zu, welche eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschnitten besitzen, für die also dim C_{1,2}(F_{4})^{irr} ≥ 1 gilt. Unter Kegelschnitten werden stets irreduzible Kurven zweiter Ordnung verstanden. Das Symbol F_{d} verwenden wir durchgehend für irreduzible Flächen des IP^{3} , falls es nötig ist, ihre Ordnung d hervorzuheben, während die irreduziblen Kurven des dreidimensionalen Raumes durch C_{d} bezeichnet werden. Falls klar ist, um welchen Grad es sich handelt oder wenn dieser unwichtig ist, schreiben wir allerdings kurz: F bzw. C. Bei der Verwendung des Begriffs Quartik soll auch durchweg angenommen werden, daß es sich nicht um einen Kegel handelt. Man sieht nämlich leicht, daß letztere überhaupt keine Kegelschnitte enthalten, und daher in dieser Klassifikation generell ausscheiden (Ebenen, welche die Kegelspitze nicht enthalten schneiden in einer irreduziblen Kurve 4. Ordnung, die übrigen aber in lauter Geraden durch die Spitze).

Im ersten Paragraphen des Kapitels werden diejenigen Quartiken behandelt, die höchstens isolierte Singularitäten besitzen, d.h. für die dim (Sing F) = 0 oder Sing F = ∅ ist. Es wird sich dort zeigen, daß in letzterem Fall keine derartigen Quartiken existieren, während es zwei Typen mit isolierten Singularitäten gibt. Darauf wird eine Einteilung der Quartiken mit eindimensionalem singulärem Ort vorgenommen. Entsprechend dieser Einteilung werden anschließend die Dimension von C_{1,2}(F)^{irr} und — soweit möglich — die Zahl der irreduziblen Komponenten davon ermittelt. Eine große Hilfe hierbei wird die Klassifikationsmethode von C. Segre sein, bei der Quartiken als Projektion einer Schnittfläche von zwei Quadriken des IP^{4} von einem nicht auf dieser gelegenen Punkt auf eine Hyperebene dargestellt werden. Die allgemeinen Aspekte dieser Methode werden in Paragraph 3.4 behandelt.

3.1 Quartiken mit höchstens isolierten Singularitäten

In diesem Paragraphen sei {K_{s} | s ∈ S} stets eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschnitten, die auf der Quartik F liegen. Nach Satz 2.2.2 und Satz 1.2.1 (c) können wir o.B.d.A. S ⊆ C_{1,2}(F)^{irr} und S als irreduzibel annehmen. Nach Satz 2.6.3 ist die Menge T^{∨} ⊂ IP^{3}^{∨} der zugehörigen Trägerebenen eine eindimensionale irreduzible Varietät. Die (abgeschlossene) Inzidenzrelation I := {(x, E^{∨}) ∈ F × T^{∨} | x ∈ E} definiert die algebraische Familie {F ∩ E | E^{∨} ∈ T^{∨}} der ebenen Schnitte von F mit Ebenen aus T^{∨}.

Satz 3.1.1. Falls die Quartik F höchstens isolierte Singularitäten besitzt, so gibt es eine nichtleere offene Teilmenge T̃^{∨} ⊆ T^{∨}, derart daß für alle E^{∨} ∈ T̃^{∨} der Schnitt F ∩ E aus zwei Kegelschnitten K_{E} und R_{E} besteht, von denen natürlich zumindest einer (o.B.d.A. K_{E}) zur Familie {K_{s} | s ∈ S} gehört.

Beweis. Nach Definition der Menge T^{∨} enthält jeder Schnitt F ∩ E für eine Ebene E^{∨} ∈ T^{∨} einen Kegelschnitt K_{E} ∈ {K_{s} | s ∈ S}. Die ‘Restkurve’ R_{E} := \overline{F ∩ E\K_{E}} ist für Ebenen aus einer nichtleeren offenen Teilmenge von T^{∨} auch tatsächlich eine solche, d.h. nichtleer, und wir können o.B.d.A. annehmen, daß T^{∨} bereits auf diese Untervarietät verkleinert worden ist. Denn im Fall R_{E} = ∅ berechnet man für x ∈ K_{E}: μ_{x}((F ∩ E)^{div}) = μ_{x}(2K_{E}) = 2. Nach Lemma 2.5.5 gilt daher wegen K_{E} ⊄ Sing F notwendigerweise K_{E} = Cont_{E}F . Weil F nach Satz 2.5.4 und 2.5.6 sicherlich keine Torse ist, kann dies nach Satz 1.6.4 nur für endlich viele Ebenen eintreten. Wir nehmen nun an, daß R_{E} für alle Ebenen E^{∨} ∈ T^{∨} reduzibel ist.

1. Fall: R_{E} ist für alle Ebenen aus T^{∨} eine Gerade g_{E}. Der Divisor (F ∩ E)^{div} ist von 4. Grad. Daher gilt (F ∩ E)^{div} = K_{E} + 2g_{E}, woraus μ_{x}((F ∩ E)^{div}) ≥ 2 für alle x ∈ g_{E} resultiert. Wegen g_{E} ⊈ Sing F heißt das aber nach Lemma 2.5.5 g_{E} = Cont_{E}F und dies kann, da F keine Torse ist, nur für endlich viele Ebenen eintreten (Satz 1.6.4). Also ist der erste Fall nicht möglich.

2. Fall: Es gibt eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} ⊆ T^{∨} so, daß R_{E} aus zwei verschiedenen Geraden g_{E}, h_{E} besteht. Würde es nur endlich viele Geraden auf F geben, so auch nur endlich viele Ebenen, die zwei verschiedene Geraden von F enthalten. Demnach muß F eine Regelfläche sein, was abermals Satz 2.5.6 widerspricht.

Nun kann man o.B.d.A. annehmen, daß die Parametervarietät der algebraischen Familie {K_{s} | s ∈ S} hinreichend verkleinert ist, so daß für die zugehörige Varietät T^{∨} die Restkurve R_{E} stets ein Kegelschnitt ist. Um den zentralen Satz dieses Paragraphen zu beweisen, benötigen wir einige Lemmata. Zunächst beschäftigen wir uns dabei mit dem Fall, daß es einen Punkt x ∈ F gibt, der für alle E^{∨} ∈ T^{∨} im Schnitt K_{E} ∩ R_{E} enthalten ist. Ein solcher Punkt ist wegen μ_{x}((F ∩ E)^{div}) = 2 gemäß Lemma 2.5.5 singulär für F. Wählt man x als ersten Koordinatengrundpunkt A_{0} , also x = (1, 0, 0, 0), so erhält das irreduzible homogene Polynom f, dessen Nullstellenmenge F ist, die Gestalt:

f = x_{0}^{2}u_{2} + 2x_{0}u_{3} + u_{4}  (3.1)

wobei u_{2}, u_{3}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] , u_{2} ≢ 0, homogen von den Graden 2, 3 bzw. 4 sind. Die Diskriminante der Gleichung λ^{2}u_{4} + 2λu_{3} + u_{2} = 0 bezüglich λ ist u := u_{2}u_{4} − u_{3}^{2} . Den Kegel UK_{x}F := V (u) nennt man den Umrißkegel von x an F (siehe [2, S.24]). Die Erzeugenden dieses Kegels sind genau diejenigen Geraden durch x, die F in höchstens einem weiteren Punkt schneiden (und zwar mit 2–facher Vielfachheit), oder ganz auf F liegen. In den folgenden Sätzen und Lemmata bezeichnen u_{i}, v_{i}, w_{i} stets homogene Formen der Grade i und f sei das (bis auf einen skalaren Faktor eindeutig bestimmte) irreduzible homogene Polynom, dessen Nullstellenmenge F ist.

Lemma 3.1.2. Der Punkt x ∈ F sei für alle E^{∨} ∈ T^{∨} im Schnitt K_{E} ∩ R_{E} enthalten und es sei stets T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} =: g_{E}. Ferner sei TC_{x}F irreduzibel. Dann kann man Koordinaten so wählen, daß x = (1, 0, 0, 0),

f = (x_{0} + u_{1})^{2}u_{2} + u_{4} mit u_{1}, u_{2}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}],

TC_{x}F = V (u_{2}) und UK_{x}F = TC_{x}F ∪ V (u_{4}) gilt.

Beweis. TC_{x}F = V (u_{2}) ist ein irreduzibler quadratischer Kegel. Zunächst ist E ∩ TC_{x}F = g_{E}, also (E ∩ TC_{x}F)^{div} = 2g_{E} für alle E^{∨} ∈ T^{∨}. Denn g_{E} ist jweils die einzige Gerade in der Ebene E, für deren Schnitt mit F der Punkt x mindestens dreifache Nullstelle ist, und hierdurch sind die Erzeugenden von TC_{x}F gerade gekennzeichnet. Da nun E^{∨} ∈ (TC_{x}F)^{∨} für alle Ebenen aus T^{∨} folgt, erhält man \overline{T^{∨}} = (TC_{x}F)^{∨}. Nun ist x aber für den Schnitt g_{E} ∩ F sogar vierfache Nullstelle und da die g_{E} nun alle bis auf höchstens endlich viele Erzeugenden von T_{x}F durchlaufen, folgert man, daß die Form u_{2} aus Gleichung (3.1) u_{3} teilen muß. Dazu betrachtet man g_{E} durch die Parameterdarstellung z = (1, 0, 0, 0) + ϱ(0, y_{1}, y_{2}, y_{3}) (ϱ ∈ k) gegeben und beachte, daß in f(z) die Koeffizienten sowohl von ϱ^{2} als auch von ϱ^{3} , also u_{2}(y_{1}, y_{2}, y_{3}) und u_{3}(y_{1}, y_{2}, y_{3}) verschwinden müssen. Daher gilt nicht nur g_{E} ⊂ V (u_{2}) sondern auch g_{E} ⊂ V (u_{3}) und es folgt TC_{x}F = \overline{T^{∨}}^{∨} ⊆ V (u_{3}). Hieraus ergibt sich für f die Form: f = x_{0}^{2}u_{2}+2x_{0}u_{1}u_{2}+v_{4} mit u_{1}, u_{2}, v_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] . Setzt man u_{4} := v_{4}−u_{2}u_{1}^{2} , so gilt UK_{x}F = V (u_{2}u_{4}), und es folgt die Behauptung.

Lemma 3.1.3. Der Punkt x ∈ F sei für alle E^{∨} ∈ T^{∨} im Schnitt K_{E} ∩ R_{E} enthalten und es sei stets T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} =: g_{E}. Ferner sei TC_{x}F reduzibel und es gebe E_{1}^{∨}, E_{2}^{∨} ∈ T^{∨} mit g_{E_{1}} ≠ g_{E_{2}} . Dann kann man Koordinaten so wählen, daß x = (1, 0, 0, 0),

f = (x_{0}x_{3} + u_{2})^{2} + u_{4} mit u_{2}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}],

TC_{x}F = V (x_{3}) und UK_{x}F = TC_{x}F ∪ V (u_{4}) gilt.

Beweis. TC_{x}F zerfällt in ein oder zwei Ebenen. Wie im Beweis von Lemma 3.1.2 sieht man E ∩ TC_{x}F = g_{E} für alle E^{∨} ∈ T^{∨}. Da nun g_{E_{1}} ≠ g_{E_{2}} ist, muß der Tangentenkegel TC_{x}F mit der Verbindungsebene der beiden Geraden g_{E_{1}} und g_{E_{2}} übereinstimmen. Die Grundpunkte des Koordinatensystems seien A_{0}, …, A_{3} . Es ist bereits x = A_{0} gewählt. Die Punkte A_{1}, A_{2} können jedoch noch in die Ebene TC_{x}F gelegt werden, so daß TC_{x}F = V (x_{3}) gilt. Wie im Beweis des obigen Lemmas sieht man, daß die Form u_{3} aus (3.1) von x_{3} geteilt werden muß, und man erhält für f bei geeigneter Normierung des Koordinatensystems: f = x_{0}^{2}x_{3}^{2} + 2x_{0}x_{3}u_{2} + v_{4} mit u_{2}, v_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] . Setzt man u_{4} := v_{4} − u_{2}^{2} , so folgt die Behauptung.

Lemma 3.1.4. Der Punkt x ∈ F sei für alle E^{∨} ∈ T^{∨} der einzige gemeinsame Punkt von K_{E} und R_{E} und es sei T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} =: g eine von E unabhängige feste Gerade. Dann kann man Koordinaten so wählen, daß x = (1, 0, 0, 0),

f = (x_{3}^{2} + 2x_{0}x_{1} + u_{2})^{2} + u_{4} mit u_{2}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}],

TC_{x}F = V (x_{1}), g = V ({x_{1}, x_{2}}) und UK_{x}F = TC_{x}F ∪ V (u_{4}) gilt.

Beweis. Wie im Beweis der beiden vorigen Lemmata gilt TC_{x}F ∩ E = g für jede Ebene E^{∨} ∈ T^{∨} ⊆ g^{∨}. Daran erkennt man, daß TC_{x}F in Ebenen durch g zerfällt. Nun gilt aber auch UK_{x}F ∩ E = g für alle Ebenen aus T^{∨}. Denn gäbe es eine Gerade h ⊆ UK_{x}F ∩ E, h ≠ g, so würde diese K_{E} ∪ R_{E} in genau zwei Punkten schneiden (siehe Charakterisierung des Umrißkegels) und man hätte einen Widerspruch zur Voraussetzung K_{E}∩R_{E} = {x}. Also zerfällt auch UK_{x}F in Ebenen durch g. Wählt man den Koordinatengrundpunkt A_{3} ∈ g\A_{0} , so gilt g = V ({x_{1}, x_{2}}) und man hat zunächst:

f = x_{0}^{2}v_{2} + 2x_{0}v_{3} + v_{4} mit v_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] und v_{3}, v_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}]

Wegen A_{3} ∈ g ⊂ V (v_{3}) läßt sich v_{3} schreiben als v_{3} = x_{3}^{2}u_{1} + x_{3}u_{2} + u_{3} mit u_{1}, u_{2}, u_{3} ∈ k[x_{1}, x_{2}] . Die Form v_{4} besitzt eine Darstellung v_{4} = λx_{3}^{4} + x_{3}^{3}w_{1} + x_{3}^{2}w_{2} + x_{3}w_{3} + w_{4} mit w_{i} ∈ k[x_{1}, x_{2}] für i = 1, 2, 3, 4, λ ∈ k. Wäre λ = 0, so würde A_{3} ∈ F im Widerspruch zu g ∩ F = {x} und A_{3} ∈ g\{x} folgen. Man kann daher o.B.d.A. λ = 1 annehmen. Da der Umrißkegel in Ebenen durch g zerfällt, muß die Form v_{2}v_{4} − v_{3}^{2} aus k[x_{1}, x_{2}] sein. Daraus folgt nun durch Koeffizientenvergleich bezüglich x_{3} : v_{2} = u_{1}^{2}, v_{2}w_{1} = 2u_{1}u_{2}, v_{2}w_{2} = u_{2}^{2} +2u_{1}u_{3} und v_{2}w_{3} = 2u_{2}u_{3} . Wegen v_{2} ≢ 0 gilt u_{1} ≢ 0 und man erhält: 2u_{2} = u_{1}w_{1} und 2u_{3} = u_{1}(w_{2} − \frac{1}{4}w_{1}^{2}), also v_{3} = u_{1}(x_{3}^{2} + \frac{1}{2}x_{3}w_{1} + \frac{1}{2}(w_{2} − \frac{1}{4}w_{1}^{2})). Nach der Koordinatentransformation x′_{3} := x_{3} + \frac{1}{4}w_{1} erreicht man v_{3} = u_{1}(x_{3}^{′2} + t_{2}) mit t_{2} := \frac{1}{2}w_{2} − \frac{3}{16}w_{1}^{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] . Bei der Koordinatentransformation bleiben A_{0} und A_{3} fest. Legt man nun den Koordinatengrundpunkt A_{2} in den Schnitt TC_{x}F ∩ V (x′_{3}) (und läßt die Striche in der Bezeichnung wieder weg), so erhält man u_{1} = x_{1} also f = x_{0}^{2}x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{1}(x_{3}^{2} + t_{2}) + v_{4} = (x_{0}x_{1} + x_{3}^{2} + t_{2})^{2} + u_{4} , wobei u_{4} := v_{4} − (x_{3}^{2} + t_{2})^{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] , da u_{1}^{2}u_{4} = v_{2}v_{4} − v_{3}^{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] gilt. Durch geeignete Umnormierung des Koordinatensystems folgt die Behauptung.

Lemma 3.1.5. Der Punkt x ∈ F sei für alle E^{∨} ∈ T^{∨} einer von höchstens zwei Punkten aus K_{E} ∩ R_{E} und es sei stets T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} =: g_{E}. Ferner sei der Abschluß \overline{T^{∨}} der Varietät der Trägerebenen keine Gerade in IP^{3}^{∨}. Dann gilt mit den Bezeichnungen K := \overline{UK_{x}F \TC_{x}F} und T := \overline{T^{∨}}^{∨} für den Kegel K:

(a) deg K = 1 falls T ⊈ K,

(b) deg K ≤ 2 falls T ⊆ K.

Beweis. Nimmt man das Gegenteil der Behauptung an ( deg K > 1 falls T ⊈ K und deg K > 2 falls T ⊆ K), so gibt es zunächst eine nichtleere offene Teilmenge T̃^{∨} ⊆ T^{∨}, so daß zu jeder Ebene E aus T̃^{∨} die zugehörige Gerade g_{E} keine Erzeugende von K ist (beachte g_{E} ⊂ TC_{x}F ⊈ K) und E ∩ K mehr als eine Erzeugende von K erhält. Denn würden alle E^{∨} ∈ T^{∨} den Kegel K in nur einer Erzeugenden schneiden, so würde im Fall, daß K irreduzibel ist, E längs dieser berühren, woraus \overline{T^{∨}} = K^{∨}, also T = K folgt, und man kann sich auf den Fall (b) beschränken. Für eine Ebene G ∌ x wäre dann C := K ∩ G eine irreduzible ebene Kurve mindestens dritten Grades, deren sämtliche Tangenten sie mindestens dreifach berühren. Betrachtet man die ‘Hessekurve’ H dieser Kurve (definiere diese analog zur Hessefläche einer Fläche in Paragraph 2.4), so sieht man an Gleichung (2.6) (nach Modifikation für den zweidimensionalen Fall), daß C ⊆ H gilt. In Analogie zu Satz 2.4.1 wäre C^{∨} nulldimensional, folglich auch K^{∨}. Damit würde dim T^{∨} = 0 im Widerspruch zu unserer Voraussetzung gelten. Ist K reduzibel, so stimmen unter der Annahme, daß E ∩ K stets nur eine Gerade ist, wegen deg \overline{T^{∨}} > 1 alle irreduziblen Komponenten von K auf einer einparametrigen Familie von Geraden durch x überein, so daß sich ein Widerspruch zur Reduzibilität von K ergibt. Also liegen in jeder Ebene E^{∨} ∈ T̃^{∨} mindestens zwei von g_{E} verschiedene, auf K gelegene Geraden durch x, die (weil sie Erzeugende des Umrißkegels sind) K_{E} ∪ R_{E} je in nur einem von x verschiedenen Punkt schneiden. Dies müssen aber Schnittpunkte von K_{E} und R_{E} sein, also card(K_{E} ∩ R_{E}) ≥ 3 im Widerspruch zur Voraussetzung.

Lemma 3.1.6. Die Varietät T^{∨} der Trägerebenen sei in der dualen Varietät F^{∨} von F enthalten. Weiter sei C′ := Θ^{−1}(T^{∨}) (Bez. siehe (2.8)) und C die parabolische Kurve von F (siehe Paragraph 2.4). Dann gilt: dim (C′ ∩ C) = 0.

Beweis. Angenommen es, gäbe eine Kurve C′′ ⊆ C′ ∩ C, die wir o.B.d.A. als irreduzibel betrachten können. Zu x ∈ C′′ sei E_{x} := T_{x}F . Da x parabolisch ist, stimmen die Haupttangenten in x überein, d.h. g_{x} := T_{x}K_{E_{x}} = T_{x}R_{E_{x}} .

Nun sind K_{E_{x}} und R_{E_{x}} Kegelschnitte also g_{x} ∩ F = {x}, woraus nach Satz 2.4.4 g_{x} = T_{x}C′′ für alle x ∈ C′′ folgt. Nach Satz 2.4.3 ist somit E^{∨} := Θ(C′′) eine einzige Ebene mit C′′ ⊆ Cont_{E}F . Nach unseren Voraussetzungen über T^{∨} (siehe Anschluß an Satz 3.1.1) gilt nun aber E^{∨} ∉ T^{∨} im Widerspruch zu C′′ ⊂ C′.

Satz 3.1.7. Die Quartik F besitze höchstens isolierte Singularitäten (d.h. Sing F = ∅ oder dim Sing F = 0) und eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschitten {K_{s} | s ∈ S}. Dann läßt sich die Gleichung von F auf eine der beiden folgenden Formen transformieren:

f = (2x_{0}x_{3} + u_{2})^{2} + x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})(x_{1} + ax_{2}) = 0  (3.2)

mit a ≠ 1, 0 und u_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] oder

f = (x_{3}^{2} + 2x_{0}x_{1} + u_{2})^{2} + x_{2}(x_{1} + x_{2})(x_{1} + ax_{2})(x_{1} + bx_{2}) = 0  (3.3)

mit a ≠ 1, b ≠ 1 und a ≠ b sowie u_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] . Alle Ebenen von T^{∨} gehen durch die Gerade g := V ({x_{1}, x_{2}}). Im Fall von (3.2) besitzt F zwei singuläre Punkte auf g ((1, 0, 0, 0) und (0, 0, 0, 1)), in welchen sich die beiden Kegelschnitte K_{E} und R_{E} (gemäß Satz 3.1.1) für alle Ebenen aus T^{∨} berühren, und eventuell zwei weitere Singularitäten. Im Fall von (3.3) gibt es genau eine Singularität x = (1, 0, 0, 0) auf F. In dieser berühren sich die Kegelschnitte K_{E} und R_{E} für sämtliche Ebenen E. Weiterhin ist x der einzige Punkt im Schnitt K_{E} ∩ R_{E} und die Tangente T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} ist die von E unabhängige Gerade g = V ({x_{1}, x_{2}}).

Beweis. Behauptung 1: Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge T̃^{∨} ⊆ T^{∨} mit der Eigenschaft, daß für alle E^{∨} ∈ T̃^{∨} card(K_{E} ∩ R_{E}) ≤ 2 gilt. Der Beweis der Behauptung 1 verwendet des öfteren

K_{E} ∩ R_{E} ⊆ (E ∩ Sing F) ∪ Cont_{E}F ,  (∗)

was nach Lemma 2.5.5 gilt. Sei Sing F = {z_{1}, …, z_{r}}. Von den Schnittpunkten zweier Kegelschnitte sind keine drei kollinear. Somit können höchstens zwei der Punkte (o.B.d.A. seien dies z_{1}, z_{2} ) Schnittpunkte von K_{E} und R_{E} für alle Ebenen von T^{∨} sein.

1. Fall: T^{∨} ⊆ z_{1}^{∨} ∩ z_{2}^{∨}. Sei g die Verbindungsgerade von z_{1} und z_{2} . Es gilt T^{∨} ⊆ g^{∨}. Es gibt nun eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} ⊆ T^{∨}, so daß E ∩ Sing F = {z_{1}, z_{2}} und Cont_{E}F ⊂ g = \overline{T^{∨}}^{∨} (Korollar 2.6.2) für alle Ebenen E^{∨} ∈ T̃^{∨} gilt. Aus g ∩ F = {z_{1}, z_{2}} und (∗) folgt Behauptung 1.

2. Fall: T^{∨} ⊂ z_{1}^{∨} und T^{∨} ⊈ z_{2}^{∨}. Sei T := \overline{T^{∨}}^{∨}. Es gibt nun eine nichtleere offene Teilmenge T̃^{∨} ⊆ T^{∨} mit der Eigenschaft, daß für alle Ebenen E^{∨} ∈ T̃^{∨} die Beziehungen E ∩ Sing F = {z_{1}} und Cont_{E}F ⊂ Cont_{E}T (Korollar 2.6.2) gelten. Da T ein Kegel mit Spitze z_{1} oder eine Gerade ist, muß Cont_{E}T eine Gerade durch z_{1} sein. Damit enthält Cont_{E}F höchstens einen von z_{1} verschiedenen Punkt, da die Schnittgleichung einer Gerade durch z_{1} mit F nur zwei von z_{1} verschiedene Lösungen besitzt, die hier zusammenfallen müssen. Zusammen mit (∗) folgt wieder Behauptung 1.

3. Fall: T^{∨} ⊄ z_{1}^{∨} und T^{∨} ⊄ z_{2}^{∨} Über T := \overline{T^{∨}}^{∨} weiß man in diesem Fall lediglich, daß es sich um eine Torse oder eine Gerade handelt. Auf jeden Fall gibt es wieder eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} ⊆ T^{∨}, deren Ebenen E keine Singularität von F enthalten. Schnittpunkte von K_{E} und R_{E} kann es daher nur im Berührort Cont_{E}F geben, und da eine nicht auf F gelegene Gerade höchsten in zwei Punkten berühren kann ( deg F = 4), erkennt man mit Hilfe der Bemerkung im Anschluß an Korollar 2.6.2 die Gültigkeit von Behauptung 1, die damit gezeigt ist.

Wir nehmen o.B.d.A T̃^{∨} = T^{∨} an. Den Sätzen 2.1.4 und 2.1.5 zufolge gibt es nun zu jeder Ebene E^{∨} ∈ T^{∨} ein x_{E} ∈ K_{E} ∩ R_{E} mit T_{x_{E}}K_{E} = T_{x_{E}}R_{E} , da bei nur zwei Schnittpunkten mindesten einer doppelt zählen muß. Nach Lemma 3.1.6 kann man (eventuell nach abermaliger Verkleinerung von T^{∨}) x_{E} ∈ Sing F annehmen, da andernfalls T_{x_{E}}F = E und T_{x_{E}}K_{E} sowie T_{x_{E}}R_{E} Haupttangenten in x_{E} wären, also x_{E} parabolisch. Damit ist card(x^{∨} ∩ T^{∨}) = ∞ für ein x ∈ Sing F und da T^{∨} irreduzibel ist, gilt T^{∨} ⊂ x^{∨}. Also gibt es ein x ∈ Sing F mit x ∈ K_{E} ∩ R_{E} und g_{E} := T_{x}K_{E} = T_{x}R_{E} für alle E^{∨} ∈ T^{∨}. Daher können die Lemmata 3.1.2 bis 3.1.5 angewandt werden.

Behauptung 2: TC_{x}F ist reduzibel und deg \overline{T^{∨}} = 1. Zum Beweis der Reduzibilität nehmen wir das Gegenteil an und verwenden die Gleichung nach Lemma 3.1.2. Dort gilt für den Kegel K aus Lemma 3.1.5 K = V (u_{4}), weil TC_{x}F = V (u_{2}) ⊆ V (u_{4}) die Reduzibilität des Polynoms f zur Folge hätte. Im Beweis von Lemma 3.1.2 wurde bereits T := \overline{T^{∨}}^{∨} = TC_{x}F gezeigt. Daher ist insbesondere deg \overline{T^{∨}} > 1 und nach Lemma 3.1.5 K eine Ebene. Folglich gibt es eine homogene lineare Form v_{1} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] mit u_{4} = v_{1}^{4} . Betrachtet man die Ableitungen von f, so erkennt man nun, daß Sing F die Gerade V ({x_{0} + u_{1}, v_{1}}) enthält, im Widerspruch zu dim Sing F < 1. Wir nehmen nun an, daß T^{∨} nicht offene Teilmenge einer Gerade des IP^{3}^{∨} ist. Die Gerade g_{E} ist dann sicherlich nicht konstant (unabhängig von E) und man kann die Gleichung nach Lemma 3.1.3 verwenden. Hierin wird das Polynom u_{4} nicht von x_{3}^{2} geteilt, da sonst die Kurve V ({x_{3}, x_{0}x_{3} +u_{2}}) in Sing F enthalten wäre. Falls u_{4} nicht einmal von x_{3} geteilt wird, gilt K = V (u_{4}) und Lemma 3.1.5 liefert deg K ≤ 2, also u_{4} = v_{2}^{2} mit einem geeigneten homogenen Polynom v_{2} zweiten Grades. Dann wird aber f reduzibel und es bleibt nur noch der Fall u_{4} = x_{3}v_{3} zu betrachten, wobei K = V (v_{3}) gilt. Wiederum hat man laut Lemma 3.1.5 deg K ≤ 2, also v_{3} = v_{1}^{2}w_{1} . Das führt auf die in Sing F enthaltene Kurve V ({v_{1}, x_{0}x_{3} + u_{2}}). Damit ist Behauptung 2 gezeigt.

Sei nun g := \overline{T^{∨}}^{∨}. Wählt man die Koordinatengrundpunkte A_{0} := x und A_{3} ∈ g\{A_{0}}, so gilt g = V ({x_{1}, x_{2}}). Nun zerfällt K in Ebenen durch g. Im Fall, daß g_{E} = g für alle Ebenen aus T^{∨} gilt, ist dies bereits durch Lemma 3.1.4 klar (beachte, daß die Voraussetzung K_{E} ∩ R_{E} = {x} des Lemmas hier wegen Cont_{E}F ⊂ g (Korollar 2.6.2) und (∗) automatisch erfüllt ist). Im anderen Fall gäbe es sonst eine nichtleere offene Menge T̃^{∨} ⊆ T^{∨} derart, daß jede Ebene E aus T̃^{∨} den Kegel K in einer von g und g_{E} verschiedenen (beachte g_{E} ⊂ TC_{x}F ⊈ K) Geraden h_{E} schneidet, welche wegen dim Sing F = 0 und K ⊆ UK_{x}F die Quartik F außerhalb von g berühren muß. Dies widerspricht aber Cont_{E}F ⊂ g, was nach Korollar 2.6.2 gilt. Demnach gilt K = V (v) mit einem v ∈ k[x_{1}, x_{2}] .

Betrachte zunächst den Fall gemäß Lemma 3.1.3: Nun gilt UK_{x}F = TC_{x}F ∪K = V (x_{3}^{r}v) = TC_{x}F ∪ V (u_{4}) = V (x_{3}u_{4}) also u_{4} = x_{3}^{s}v mit v ∈ k[x_{1}, x_{2}] . Wie oben sieht man, daß x_{3}^{2} die Form u_{4} nicht teilt und es bleiben die Möglichkeiten u_{4} = x_{3}v_{3} mit v_{3} ∈ k[x_{1}, x_{2}] oder u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}] übrig. Die Gleichung von F (Lemma 3.1.3) lehrt nun, daß auf g ein weiterer von x verschiedener singulärer Punkt von F liegt, den man daher als neuen Koordinatengrundpunkt A_{3} wählen kann. Dann ist zunächst u_{2} = x_{3}u_{1} + v_{2} mit u_{1}, v_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] , woraus man TC_{A_{3}}F = V (x_{0}+u_{1}) erkennt. Legt man die Koordinatengrundpunkte A_{1}, A_{2} in die Gerade h := TC_{A_{0}}F ∩ TC_{A_{3}}F , so ergibt sich TC_{A_{3}}F = V (x_{0}) und man sieht T_{A_{0}}K_{E} = T_{A_{0}}R_{E} = E ∩ V (x_{3}), sowie T_{A_{3}}K_{E} = T_{A_{3}}R_{E} = E ∩ V (x_{0}). Betrachtet man nun speziell A_{1} = h ∩ E, dann gilt E = V (x_{2}) und K_{E} sowie R_{E} besitzen neben x_{2} = 0 Gleichungen der Art

α_{i}x_{1}^{2} + β_{i}x_{0}x_{3} = 0 i = 1, 2.  (∗∗)

Im Fall u_{4} = x_{3}v_{3} kann man A_{1} beliebig in der nichtleeren offenen Menge h\K wählen, also insbesondere so, daß A_{1} ∈ E mit E^{∨} ∈ T^{∨} und v_{3} = λx_{1}^{3} + … mit λ ∈ k, λ ≠ 0 gilt (λ = 0 bedeuted A_{1} ∈ K). Man erkennt dann, daß E ∩ F überhaupt kein derartiges Kegelschnittpaar besitzen kann, da zwar f(x_{0}, x_{1}, 0, x_{3}), nicht aber ein Produkt von zwei Polynomen der Form (∗∗), den Term x_{3}x_{1}^{3} enthält. Damit ist u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}] notwendig und durch die Umnormierung x_{0} = 2x′_{0} erhält f zunächst die Form: f = (2x′_{0}x_{3} + u_{2})^{2} + u_{4} mit u_{2}, u_{4} ∈ k[x_{1}, x_{2}]. An dieser Gleichung erkennt man nun, daß alle Ebenen E^{∨} ∈ g^{∨}, die nicht durch die Schnittpunkte von h und F gehen, ein Paar von Kegelschnitten aus F ausschneiden. Diese berühren sich in den beiden Punkten A_{0} und A_{3} . Denn falls E = V (ax_{1} − bx_{2}) und o.B.d.A. b ≠ 0 ist, so erhält man für die Projektion von F ∩ E vom Punkt A_{2} auf die Ebene V (x_{2}) (neben x_{2} = 0) die Gleichung (substituiere x_{2} = \frac{ax_{1}}{b} und multipliziere mit b^{4} ):

(2b^{2}x_{0}x_{3} + (u_{2}(b, a) + i\sqrt{u_{4}(b, a)})x_{1}^{2})(2b^{2}x_{0}x_{3} + (u_{2}(b, a) − i\sqrt{u_{4}(b, a)})x_{1}^{2}) = 0,

wobei i die Wurzel aus −1 in k bezeichnet. Zerfällt K in die vier Ebenen E_{0}, …, E_{3} mit E_{i}^{∨} ∈ g^{∨}, i = 0, …, 3, so schneidet jede von den E_{i} verschiedene Ebene E durch g die Quartik offenbar sogar in zwei verschiedenen Divisoren 2. Grades, von denen im Fall E ∩ F ∩ h ≠ ∅ immerhin einer, im Fall E ∩ F ∩ h = ∅, welcher für alle bis auf höchstens vier Ebenen eintritt, sogar beide Kegelschnitte sind. Daher kann eine Kurve singulärer Punkte von F höchstens in einer der Ebenen E_{i} liegen. Da F eine solche nicht besitzen soll, ist card{E_{0}^{∨}, …, E_{3}^{∨}} = 4 notwendig. Legt man nun die Koordinatengrundpunkte A_{1}, A_{2} in h ∩ E_{1} und h ∩ E_{2} , so erhält man bei geeigneter Normierung des Koordinatensystems Gleichung (3.2). Eine Betrachtung der Ableitungen von f liefert nun E_{i}∩ Sing F = {A_{0}, A_{3}} für i = 0, …, 3. Daher kann es von A_{0}, A_{3} verschiedene singuläre Punkte höchstens auf h geben, da dies auch für die Schnittkurven mit Ebenen E ⊄ K durch g gilt, und dies können nicht mehr als zwei sein (h ⊄ F).

Wir wenden uns nun dem Fall zu, in dem alle Geraden g_{E} mit g übereinstimmen. Nun kann die Gleichung gemäß Lemma 3.1.4 verwendet werden. Ganz analog zu obiger Überlegung sieht man, daß alle Ebenen E^{∨} ∈ g^{∨} die Quartik F in zwei Kegelschnitten schneiden, die entweder identisch sind oder deren einziger gemeinsamer Punkt der Berührpunkt x ist (und in dem sich die beiden Kegelschnitte 4–fach berühren). Ersteres tritt genau für die Ebenen E_{0}, …, E_{3} auf, welche wieder die irreduziblen Komponenten des Kegels K = V (u_{4}) sind. Auch hier erkennt man, daß für die Gültigkeit von dim Sing F = 0 card{E_{0}, …, E_{3}} = 4 sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Daher kann man unter Berücksichtigung des Umstandes, daß der Koordinatenpunkt A_{2} nicht mehr frei gewählt werden kann (siehe Lemma 3.1.4), f auf die Gestalt (3.3) transformieren. Ähnlich wie bei obiger Überlegung sieht man, daß x die einzige Singularität von F ist, weil dies auch für alle ebenen Schnitte durch g gilt. Damit ist Satz 3.1.7 bewiesen.

Für die beiden nach diesem Satz existierenden Quartiken mit isolierten Singularitäten und einer einparametrigen Familie von Kegelschnitten wollen wir die Typenbezeichnungen (j1) und (j2) einführen entsprechend den beiden Gleichungen (3.2) und (3.3). Sie werden als Quartiken mit Selbstberührungspunkten bezeichnet. An dieser Stelle sei bemerkt, daß die Flächen (j1) bereits von Meyer ([15, S.1572 u. 1672]) als Quartiken mit einer Familie von Kegelschnitten erkannt wurden. Der Typ (j2) wird hier jedoch übersehen. Von Jessop ([12, S.134]) wird diese Lücke geschlossen. Jedoch wird auch hier nicht der Beweis erbracht, daß damit alle Quartiken mit höchstens isolierten Singularitäten und einparametriger algebraischer Familie von Kegelschnitten gefunden sind.

Satz 3.1.8. Für eine Quartik F der Typen (j1) und (j2) ist C_{1,2}(F)^{irr} irreduzibel und eindimensional.

Beweis. Nach Satz 2.3.3 bilden die Kegelschnitte auf F, die in Ebenen des Büschels g^{∨} liegen eine einparametrige irreduzible algebraische Familie von Kegelschnitten. Es ist daher nur zu zeigen, daß jeder Kegelschnitt auf F unter diesen vorkommt. Dies ist recht einfach: Mit E_{0}, …, E_{3} bezeichnen wir wieder die vier verschiedenen Ebenen mit E_{0} ∪ … ∪ E_{3} = K = V (u_{4}), die den vier linearen Faktoren des rechten Summanden in der Gleichung von F entsprechen. An den Gleichungen (3.2) bzw. (3.3) erkennt man, daß diese die Fläche F längs der Schnittkurven berühren. Aus dem letzten Beweis wissen wir bereits: E_{i} ∩ Sing F = {A_{0}, A_{3}} im Fall des Typs (j1) und E_{i} ∩ Sing F = {A_{0}} im Fall von (j2). Sei nun C ein Kegelschnitt auf F mit Trägerebene E ⊅ g. Keine der vier verschiedenen Geraden g_{i} := E_{i}∩E enthält einen von A_{0}, A_{3} verschiedenen singulären Punkt von F, aber jede geht durch den Punkt E ∩ g. Für jeden von A_{0}, A_{3} verschiedenen Schnittpunkt y_{i} ∈ g_{i} ∩ C gilt daher T_{y_{i}}C ⊂ T_{y_{i}}F = E_{i}, also T_{y_{i}}C = g_{i}. Da die duale Varietät eines Kegelschnitts (aufgefaßt als ebene Kurve) wieder ein solcher ist, kann C aber keine vier kopunktalen Tangenten besitzen und man muß die Annahme g ⊄ E verwerfen.

3.2 Einteilung der Quartiken mit eindimensionalem singulären Ort

In diesem Paragraphen wird eine Einteilung der Quartiken F mit dim Sing F = 1 anhand der Gestalt der Kurve singulärer Punkte, die wir hier mit S bezeichnen (S ist der rein eindimensionale Anteil von Sing F ), vorgenommen. Diese Einteilung ist Grundlage für die nachfolgende Behandlung dieser Quartiken. Wir benötigen folgenden fundamentalen Satz aus der Theorie der ebenen algebraischen Kurven, der hier nur zitiert wird.

Satz 3.2.1. Sei C_{d} eine irreduzible Kurve d–ten Grades im IP^{3} . Dann besitzt C_{d} höchstens \frac{(d−1)(d−2)}{2} singuläre Punkte.

Beweis. [1, S.136] oder [24, S.102]

Satz 3.2.2. Eine von einem Kegel verschiedene Quartik F mit der Kurve S singulärer Punkte gehört zu genau einem der folgenden Typen:

(a) S ist eine irreduzible kubische (nicht ebene) Raumkurve und Sing_{3}F = ∅.

(b) S ist ein Kegelschnitt und Sing_{3}F = ∅

(c) S besteht aus einem Kegelschnitt und einer Geraden, die die Trägerebene des Kegelschnitts in einem Punkt desselben schneidet. Weiterhin gilt Sing_{3}F = ∅.

(d) S besteht aus drei verschiedenen Geraden, von denen zwei zueinander windschief sind und von der dritten geschnitten werden. Auch hier gilt Sing_{3}F = ∅.

(e) S besteht aus drei verschiedenen kopunktalen Geraden, die aber nicht in einer Ebene liegen. Der Schnittpunkt der drei Geraden ist der einzige dreifache Punkt der Fläche.

(f) S besteht aus zwei verschiedenen sich schneidenden Geraden. Falls F einen dreifachen Punkt besitzt, so ist dies der Schnittpunkt der Geraden.

(g) S besteht aus zwei windschiefen Geraden und Sing_{3}F = ∅ .

(h) S ist genau eine Gerade und es gibt höchstens endlich viele dreifache Punkte von F, die notwendigerweise auf derselben liegen.

(i) S = Sing F = Sing_{3}F ist eine in Gerade.

Beweis. Es wird des öfteren verwendet, daß eine Gerade, die drei zweifache Punkte oder einen zweifachen und einen dreifachen Punkt von F enthält, ganz auf F liegen muß (Abzählung der Schnittmultiplizitäten!). Zunächst ist es notwendig, daß in den Fällen (a) bis (d) und (g) Sing_{3}F = ∅ und in den Fällen (e) und (f) Sing_{3}F im Schnitt der Geraden liegt, da andernfalls ein x ∈ Sing_{3}F existiert, so daß alle Verbindungsgeraden von x mit weiteren Punkten y ∈ Sing F in F enthalten sind. Dann wäre entgegen der Voraussetzung F ein Kegel mit Spitze x. Behauptung: deg S ≤ 3. Ist deg S ≥ 4, dann gibt es nach Satz 2.1.3 eine nichtleere offene Menge U^{∨} ⊆ IP^{3}^{∨} von Ebenen, die S in mehr als drei Punkten schneiden. Nach Korollar 2.3.5 kann man U^{∨} zu einer nichtleeren offenen Teilmenge V^{∨} verkleinern, so daß für alle E^{∨} ∈ V^{∨} der Schnitt E ∩ F irreduzibel ist. Wegen E ∩ S ⊆ Sing (E ∩ F) (Lemma 2.5.5) erhält man einen Widerspruch zu Satz 3.2.1. Sehr einfach sieht man, daß im Fall Sing_{4}F ≠ ∅ die Fläche F ein Kegel ist, was aber hier ausgeschlossen sein sollte. Für eine ebene Kurve C ⊆ Sing F gilt deg C ≤ 2, denn andernfalls wäre die Trägerebene der Kurve in F enthalten (jede Gerade, die C in mehr als zwei Punkten schneidet liegt auf F). Falls S in eine ebene Kurve zweiter Ordnung und eine Gerade g zerfällt, so ist letztere sicher nicht in der Trägerebene der ersteren enthalten, sondern schneidet diese in einem Punkt der Kurve, da der andere Fall wieder dazu führt, daß die Trägerebene in F enthalten ist. Nun kann S auch nicht in drei windschiefe Geraden zerfallen, da sonst die Quadrik der Treffgeraden derselben in F enthalten wäre. Faßt man diese Aussagen zusammen, so folgt, daß F zu einem der Typen des Satzes gehören muß.

3.3 Quartiken mit irreduzibler kubischer Doppelpunktskurve

Wir untersuchen nun, welche der Quartiken des Typs (a) (nach vorigem Paragraphen) einparametrige algebraische Familien von Kegelschnitten besitzen. Es wird also der Fall betrachtet, daß die Doppelpunktskurve S eine irreduzible kubische Raumkurve C̄_{3} ist. Der Kegel Z_{x} von einem Punkt x ∈ C̄_{3} an C̄_{3} ist von zweiter Ordnung, da jede Ebene durch x ihn in höchstens zwei Erzeugenden schneidet (Satz 2.1.3). Damit ist für x ≠ y ∈ C̄_{3} Z_{x} ∩ Z_{y} = g ∪ C̄_{3} , wobei g die Verbindungsgerade von x und y ist. Denn es ist sicherlich Z_{x} ∩ Z_{y} ⊇ g ∪ C̄_{3} und deg (Z_{x} ∩ Z_{y}) = 4 (siehe Bemerkung 2.1.6). Weiterhin gilt T_{x}Z_{y} ≠ T_{y}Z_{x}, denn anderfalls würden sich Z_{x} und Z_{y} längs g berühren und man sieht, daß Z_{x} ∩ Z_{y} dann neben g nur einen Kegelschnitt enthalten kann (Bemerkung 2.1.6). Daher gilt (T_{x}Z_{y}) ∩ Z_{x} = g ∪ g_{1} und (T_{y}Z_{x}) ∩ Z_{y} = g ∪ g_{2} mit x ∈ g_{1}, y ∈ g_{2} und g_{1} ∩ g_{2} = ∅. Sei T_{1} die Ebene, die Z_{x} längs g_{1} berührt, und T_{2} diejenige, die Z_{y} längs g_{2} berührt. Die Grundpunkte des Koordinatensystems bezeichnen wir wieder mit A_{0}, …, A_{3} . Wir wählen A_{0} := x, A_{3} := y, A_{1} := g_{1} ∩ T_{2} und A_{2} := g_{2} ∩ T_{1} . Wegen g_{1} ∩ g_{2} = ∅ gilt A_{1} ∉ Z_{y} und A_{2} ∉ Z_{x} (beachte T_{1} ∩ Z_{x} = g_{1} und T_{2} ∩ Z_{y} = g_{2} ). Außerdem gilt A_{1} ∈ T_{A_{0}}Z_{y} ∩ T_{A_{2}}Z_{y} und A_{2} ∈ T_{A_{3}}Z_{x} ∩ T_{A_{1}}Z_{x}. Normiert man die Koordinatengrundpunkte geeignet, so erhält man Z_{x} = V (x_{1}x_{3}−x_{2}^{2}) und Z_{y} = V (x_{0}x_{2}−x_{1}^{2}). In diesem Koordinatensystem erscheint C̄_{3} als reguläres Bild einer projektiven Geraden IP^{1} vermittels der Veroneseabbildung ν : IP^{1} → IP^{3} , die durch ν((λ, μ)) := (λ^{3}, λ^{2}μ, λμ^{2}, μ^{3}) ∈ C̄_{3} definiert ist. Fügt man zu den Kegeln Z_{x}, Z_{y} die Quadrik mit der Gleichung f_{2} := x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2} = 0 hinzu, so bilden f_{1} := x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}, f_{2}, f_{3} := x_{1}x_{3} − x_{2}^{2} eine Basis des homogenen Ideals I(C̄_{3}) = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) (siehe [2, §16]).

Lemma 3.3.1. Die Quartik F = V (f) besitze die kubische Raumkurve C̄_{3} als eindimensionalen Anteil des singulären Ortes. Dann folgt f ∈ I(C̄_{3})^{2} .

Beweis. Wegen C̄_{3} ⊂ F ist zunächst f ∈ I(C̄_{3}), d.h. f = g_{1}f_{1} + g_{2}f_{2} + g_{3}f_{3} mit homogenen Formen g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] (f_{1}, f_{2}, f_{3} wie oben). Im homogenen Koordinatenring S[C̄_{3}] := k[x_{o}, …, x_{3}]/I(C̄_{3}) gilt wegen C̄_{3} ⊆ Sing F für die partiellen Ableitungen von f : \frac{∂f}{∂x_{i}} ≡ 0 ( i = 0, … 3). Also sind g_{1}, g_{2}, g_{3} als Elemente von S[C̄_{3}] (man identifiziere im folgenden die Polynome stets mit ihren Äquivalenzklassen in S[C̄_{3}]) Lösungen der Matrixgleichung

\underbrace{( \begin{matrix}x_{2} & x_{3} & 0 \\ −2x_{1} & −x_{2} & x_{3} \\ x_{0} & −x_{1} & −2x_{2} \\ 0 & x_{0} & x_{1} \end{matrix} )}_{=(\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} )=:M} ( \begin{matrix}g_{1} \\ g_{2} \\ g_{3} \end{matrix} ) = 0.  (∗)

Falls die Äquivalenzklassen der g_{i} die triviale Lösung dieser Gleichung darstellen, folgt sofort f ∈ I(C̄_{3})^{2} . Im Quotientenkörper von S[C̄_{3}] (existiert, da I(C̄_{3}) auf Grund der Irreduzibilität von C̄_{3} ein Primideal ist) besitzt M den Rang 2 (nachrechnen!). Deshalb ist jede Lösung von (∗) in diesem proportional zur Fundamentallösung (x_{2}x_{4}, −x_{2}x_{3}, x_{1}x_{3}). Das heißt aber, daß es stets h ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] , l ∉ I(C̄_{3}) und q_{1}, q_{2}, q_{3} ∈ I(C̄_{3}) gibt, so daß g_{1} = \frac{h}{l}(x_{1}x_{3} + q_{1}), g_{2} = \frac{h}{l}(−x_{1}x_{2} + q_{2}), g_{3} = \frac{h}{l}(x_{0}x_{2} + q_{3}) gilt. Nun berechnet man f_{1}f_{3} = f_{1}x_{1}x_{3} − f_{2}x_{1}x_{2} + f_{3}x_{0}x_{2} , woraus f = \frac{h}{l}q mit einem q ∈ I(C̄_{3})^{2} bzw. fl ∈ I(C̄_{3})^{2} folgt. Gemäß der Theorie der Zerlegung von Idealen in noetherschen Ringen ist I(C̄_{3}) das zu I(C̄_{3})^{2} gehörige Primideal, und da l ∉ I(C̄_{3}) gilt, folgt f ∈ I(C̄_{3})^{2} . Für die letzte Folgerung benötigt man den Satz aus [26, S.42].

Nach diesem Lemma erhält man alle hier in Frage stehenden Quartiken, wenn das Koordinatensystem wie oben angepaßt ist, indem man in eine homogene quadratische Form q aus k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] die Polynome f_{1}, f_{2}, f_{3} substituiert. Das so erhaltene Polynom f := q(f_{1}, f_{2}, f_{3}) ist, wie man leicht sieht, genau dann irreduzibel, wenn dies für q gilt, denn eine Fläche vierter Ordnung mit C̄_{3} ⊂ Sing F kann höchstens in zwei Quadriken zerfallen, deren definierende homogene Polynome aus I(C̄_{3}) sind, weshalb es in diesem Fall a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} ∈ k mit f = (a_{1}f_{1} + a_{2}f_{2} + a_{3}f_{3})(b_{1}f_{1} + b_{2}f_{2} + b_{3}f_{3}) gibt.

Satz 3.3.2. Es gilt:

(a) Falls die Quartik F eine Torse ist, besitzt F alle Tangenten von C̄_{3} als Erzeugende. Alle derartigen Flächen sind zueinander projektiv äquivalent.

(b) Falls F keine Torse ist, so gibt es eine nichtleere offene Teilmenge C̃_{3} ⊆ C̄_{3} , so daß für jeden Punkt x ∈ C̃_{3} zwei Sekanten von C̄_{3} durch x auf F liegen.

Beweis. Zwei Punkte auf C̄_{3} sind mittels der Veroneseabbildung durch x = (λ^{3}, λ^{2}μ, λμ^{2}, μ^{3}) und y = (ξ^{3}, ξ^{2}η, ξη^{2}, η^{3}) gegeben. Für den Punkt z = x + ϱy auf der Verbindungsgeraden von x und y berechnet man (f_{1}(z), f_{2}(z), f_{3}(z)) = ϱ(λη − ξμ)^{2}(λξ, λη + ξμ, μη) und daraus f(z) = ϱ^{2}(λη − ξμ)^{4}q(λξ, λη + ξμ, μη). Das heißt aber, daß für x ≠ y die Verbindungsgerade der beiden Punkte genau dann auf F liegt, wenn

q(λξ, λη + ξμ, μη) = 0  (∗)

erfüllt ist. Setzt man nun r_{xy} := (λξ, λη + ξμ, μη) = ξ(λ, μ, 0) + η(0, λ, μ) ∈ IP^{2} , so durchläuft r_{xy} für festes x die Tangente des Kegelschnittes α := V (4x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}) im Punkt r_{xx}. Ist β der Kegelschnitt β := V (q), so entsprechen den Lösungspaaren x, y von (∗) genau die Schnittpunkte r_{xy} ∈ (T_{r_{xx}}α) ∩ β. Wenn x die Kurve C̄_{3} durchläuft, so durchläuft r_{xx} den Kegelschnitt α. Wir wollen nun zeigen, daß die Punke x von C̄_{3} für welche die Tangente T_{x}C̄_{3} auf F liegt, in eineindeutiger Weise den gemeinsamen Punkten von α und β entsprechen.

Man berechnet dazu, daß die Tangente T_{x}C̄_{3} von den beiden Punkten s := (3λ^{2}, 2λμ, μ^{2}, 0) und t := (0, λ^{2}, 2λμ, 3μ^{2}) aufgespannt wird (vgl. [2, S.107]). Setzt man wieder z := s+ϱt, so ergibt sich diesmal (f_{1}(z), f_{2}(z), f_{3}(z)) = −(μ− ϱλ)^{2}(λ^{2}, 2λμ, μ^{2}) = −(μ − ϱλ)^{2}r_{xx} und daraus die Äquivalenzkette T_{x}C̄_{3} ⊂ F ⟺ q(r_{xx}) = 0 ⟺ r_{xx} ∈ β. Im Fall α = β besitzt F die Gleichung

4f_{1}f_{3} − f_{2}^{2} = 4x_{0}x_{2}^{3} + 4x_{1}^{3}x_{3} + x_{0}^{2}x_{3}^{2} − 3x_{1}^{2}x_{2}^{2} − 6x_{0}x_{1}x_{2}x_{3} = 0  (3.4)

und zwar unabhängig von der Wahl der Punkte A_{0}, A_{3} ∈ C̄_{3} . An der Gleichung erkennt man, daß die Ebene E = V (x_{3}) die Fläche F längs T_{x}C̄_{3} = V ({x_{1}, x_{3}}) berürt. Dann gibt es aber zu jedem A_{0} ∈ C̄_{3} eine Ebene, die F längs T_{x}C̄_{3} berührt. Nach Satz 1.6.4 ist F dann eine Torse. Die Behauptung des Satzes ist gezeigt, falls klar ist, daß im Fall α ≠ β keine Torse vorliegt, denn dann besitzen α und β höchstens vier Schnittpunkte aber auch höchstens vier gemeinsame Tangenten, da α^{∨} und β^{∨} ebenfalls Kegelschnitte sind. Also gibt es eine nichtleere offene Menge C̃_{3} ⊂ C̄_{3} , so daß für alle x ∈ C̃_{3} r_{xx} ∉ β und (T_{r_{xx}}α) ∩ β zwei verschiedene Punkte enthält, die zwei verschiedenen Sekanten durch x entsprechen. Die letzte Lücke des Beweises wird nun folgendermaßen geschlossen: Falls es eine Torse geben sollte, für die α ≠ β ist, so enthält sie nach dem bisher gezeigten bestimmt eine Sekante g von C̄_{3} , die etwa durch die Punkte x und y von C̄_{3} geht. Wählt man das Koordinatensystems wie zu Anfang dieses Paragraphen bezüglich x und y, so sieht man sofort, daß T_{x}C̄_{3} und T_{y}C̄_{3} zueinander windschief sind. Da die duale Varietät von F irreduzibel und eindimensional ist, erhält man dim Cont_{x^{∨}}F^{∨} = dim Cont_{y^{∨}}F^{∨} = 0, weil schon x^{∨} ∩ F^{∨} und y^{∨}∩F^{∨} nulldimensional sind (im Fall F^{∨} ⊂ x^{∨} bzw. F^{∨} ⊂ x^{∨} wäre F ein Kegel mit Spitze x bzw. y). Das führt Satz 1.6.2 (b) zufolge auf die Beziehungen

(TC_{x}F)^{∨} = Cont_{x^{∨}}F^{∨} und (TC_{y}F)^{∨} = Cont_{y^{∨}}F^{∨} .

Nun ist g bestimmt Berührort einer Ebene E, da anderfalls g^{∨} ⊆ F^{∨} gelten würde, also Cont_{E}F = g. Es gilt E ⊆ TC_{x}F ∩ TC_{y}F , da E^{∨} ∈ Cont_{x^{∨}}F^{∨} ∩ Cont_{y^{∨}}F^{∨} aus x, y ∈ Cont_{E}F wegen (x, E^{∨}), (y, E^{∨}) ∈ CF = CF^{∨} (Reflexivität!) folgt. Aus Sing_{3}F = ∅ (Satz 3.2.2) liefert Satz 2.6.1 T_{x}C̄_{3} ⊂ E und T_{y}C̄_{3} ⊂ E, was aber der Feststellung widerspricht, daß diese beiden Tangenten windschief sind.

Im folgenden wird wieder die Bezeichnung P (F) für die projektive Untervarietät der Plückerquadrik P verwendet, deren Punkte den sämtlichen Geraden von F entsprechen (siehe Paragraph 2.5). Den eindimensionalen Anteil von P (F) bezeichnen wir wieder durch P (F)^{1} . Der vorige Satz lehrt nun unmittelbar, daß die Quartiken mit irreduzibler kubischer Doppelpunktskurve stets Regelflächen sind. Deswegen ist nach Satz 2.5.3 P (F) eindimensional und P (F)^{1} irreduzibel. Darüberhinaus gilt nun Satz 3.3.3. Für eine Quartik F mit irreduzibler kubischer Doppelpunktskurve C̄_{3} ist die Varietät P (F)^{1} in einem eindeutig bestimmten linearen Geradenkomplex K_{1} enthalten. Ist K_{1} ein spezieller Komplex mit Leitgerade l, so folgt l ⊂ F und l ∩ Sing F = ∅.

Beweis. Behauptung 1: P (F)^{1} ⊂ K_{1} mit einem geeigneten linearen Komplex K_{1} . Es werden weitgehend die Notationen des letzten Beweises übernommen. Abgesehen von Proportionalitätsfaktoren berechnet man die Plückerkoordinaten p = (p_{01}, p_{02}, p_{03}, p_{12}, p_{13}, p_{23}) der Verbindungsgeraden zweier verschiedener Punkte x, y ∈ C̄_{3} zu

p = (λ^{2}ξ^{2}, λξ(λη + ξμ), λ^{2}η^{2} + λξμη + ξ^{2}μ^{2}, λξμη, μη(λη + ξμ), μ^{2}η^{2})

und diejenigen einer Tangente T_{x}C̄_{3} zu

p = (λ^{4}, 2λ^{3}μ, 3λ^{2}μ^{2}, λ^{2}μ^{2}, 2λμ^{3}, μ^{4}).

Verwendet man nun die Bezeichnung r_{xy} aus dem letzten Beweis und schreibt für die Komponenten r_{xy} = (r_{0}, r_{1}, r_{2}), so erhält man in beiden Fällen

p = (r_{0}^{2}, r_{0}r_{1}, r_{1}^{2} − r_{0}r_{2}, r_{0}r_{2}, r_{2}r_{1}, r_{2}^{2}).  (∗)

Ist nun A = (a_{ij})_{i,j=0,1,2} die Darstellungsmatrix der quadratischen Form q (d.h. q(x) = x^{∗}Ax, beachte auch det A ≠ 0, da q irreduzibel ist), so ergibt sich aus der Bedingung r_{xy} ∈ β = V (q) die Gleichung

a_{00}p_{01} + 2a_{01}p_{02} + a_{11}p_{03} + (2a_{02} + a_{11})p_{12} + 2a_{12}p_{13} + a_{22}p_{23} = 0, (3.5)

die folglich von allen auf F gelegenen Sekanten oder Tangente von C̄_{3} erfüllt wird. Gleichung (3.5) stellt einen linearen Geradenkomplex K_{1} dar. Die Irreduzibilität von P (F)^{1} liefert P (F)^{1} ⊂ K_{1} , da mit Sicherheit unendlich viele Geraden von P (F)^{1} in K_{1} liegen. Behauptung 2: Der lineare Komplex K_{1} ist eindeutig. Die Gleichung q(r_{xy}) = 0 definiert eine Hyperfläche in IP^{1} × IP^{1} (in den Koordinaten ((λ, μ), (ξ, η))), so daß Satz 1.3.2 zufolge die Koeffizienten dieser Gleichung bis auf einen skalaren Faktor festliegen. Ist nun K′_{1} ein weiterer linearer Komplex mit P (F)^{1} ⊂ K′_{1} , so kann man in seine Gleichung die Ausdrücke (∗) substituieren. Koeffizientenvergleich mit q(r_{xy}) = 0 liefert die Behauptung. Behauptung 3: Falls K_{1} ein spezieller Komplex mit Leitgerade l ist, so ist l in F enthalten. Wäre der Schnitt l ∩ F endlich, so gäbe es einen Punkt aus l ∩ F, durch den unendlich viele Geraden von P (F) gehen, und folglich wäre F ein Kegel, der diesen Punkt zur Spitze hat, was aber unmöglich ist. Behauptung 4: Ist l Leitgerade von K_{1} , so enthält l keinen singulären Punkt von F.

Gemäß Satz 2.5.1 schneidet jede Ebene E^{∨} ∈ l^{∨} die Quartik F nur in Geraden, da es durch jeden Punkt von l eine von l verschiedene Gerade auf F gibt (vgl. Korollar 2.5.2). Wäre x ∈ l singulär für F, dann gilt μ_{x}((E ∩ F)^{div}) ≥ 2 (Lemma 2.5.5 (a)). Wegen l ⊈ Sing F (Satz 3.2.2) ist (E ∩ F)^{div} = 2l + R (mit einem Restdivisor R) nur für eine Ebene durch l möglich, die dann F längs l berührt. In allen anderen Ebenen durch l gibt es eine von l verschiedene auf F gelegene Gerade durch x. Demzufolge wäre aber F ein Kegel mit Spitze x, was wiederum ausgeschlossen ist. Aus den Behauptungen 1 bis 4 folgen nun alle Behauptungen des Satzes.

Satz 3.3.4. Falls K_{1} ein spezieller linearer Komplex ist, so besitzt F überhaupt keine Kegelschnitte, also C_{1,2}(F)^{irr} = ∅.

Beweis. Im Beweis von Satz 3.3.3 (Behauptung 4) wurde bereits eingesehen, daß jeder Schnitt einer Ebene durch die Leitgerade l mit F voll in Geraden zerfällt. Wir nehmen daher einen Kegelschnitt C_{2} auf F an, dessen Trägerebene E die Leitgerade l nicht enthält. Nach Satz 2.5.7 hat man (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g_{1} + g_{2} mit zwei Geraden g_{1}, g_{2} . Fall 1: g_{1} ∩ l = g_{2} ∩ l =: x. Wegen l ∩ Sing F = ∅ (Satz 3.3.3) ist x regulär für F aber μ_{x}((E ∩ F)^{div}) ≥ μ_{x}(g_{1}) + μ_{x}(g_{2}) = 2. Nach Lemma 2.5.5 gilt T_{x}F = E und man erhält mit E ⊃ T_{x}l = l einen Widerspruch zur Annahme. Fall 2: g_{1} ∩ l ≠ g_{2} ∩ l. Der Fall führt unmittelbar auf einen Widerspruch zu l ⊄ E.

Lemma 3.3.5. Sei K ein linearer Geradenkomplex, welcher drei nicht kopunktale Geraden einer Ebene enthält. Dann ist K speziell.

Beweis. Den drei nicht kopunktalen Geraden in der Ebene entsprechen drei linear unabhängige Punke auf der Plückerquadrik P und die von diesen aufgespannte Ebene E des IP^{5} ist in P enthalten. Die Punkte dieser Ebene entsprechen den Geraden der Ebene des IP^{3} , welche die drei gegebenen enthält. Ist H die Hyperebene des IP^{5} , die den Komplex K aus P ausschneidet (K = P ∩H), so folgt E ⊂ H also auch E ⊂ K. Nun ist K als Teilmenge des IP^{5} eine Quadrik in einem vierdimensionalen projektiven Unterraum. Eine solche ist aber, sofern sie eine Ebene enthält, ein Kegel, denn wählt man Koordinaten etwa so, daß die rechte untere 3 × 3–Untermatrix der Darstellungsmatrix M dieser Quadrik die Nullmatrix ist (also A_{2}, A_{3}, A_{4} ∈ E), so erkennt man sofort rang M ≤ 3. Da P singularitätenfrei ist, muß H die Plückerquadrik berühren (Lemma 2.5.5). Das heißt aber, daß K ein spezieller Komplex ist, dessen Leitgerade dem Berührpunkt von P und H entspricht.

Satz 3.3.6. Falls K_{1} ein allgemeiner linearer Komplex ist, so besitzt F eine irreduzible einparametrige Familie von Kegelschnitten.

Beweis. Zu zeigen: card C_{1,2}(F)^{irr} = ∞ (daraus folgt dim C_{1,2}(F)^{irr} ≥ 1). Es wird zunächst der Fall betrachtet, daß F eine Torse ist. Zu jedem x ∈ C̄_{3} sei E_{x} die längs T_{x}C̄_{3} berührende Tangentialebene von F. Da man im Koordinatensystem stets A_{0} := x wählen kann, lehrt Gleichung (3.4), daß jede Ebene E_{x} = V (x_{3}) einen Kegelschnitt aus F ausschneidet, welcher T_{x}C̄_{3} in x berührt. Für den Fall, daß F keine Torse ist, sei mit C̃_{3} die nichtleere offene Menge aller Punkte x ∈ C̄_{3} bezeichnet, durch die zwei verschiedene Geraden g_{x}, h_{x} der Fläche gehen (Satz 3.3.2) und deren Verbindungsebene E_{x} die Quartik nicht längs der beiden Geraden g_{x}, h_{x} berührt (beachte Satz 1.6.4). Für die Kurven C_{x} := \overline{(E_{x} ∩ F)\(g_{x} ∪ h_{x})} ≠ ∅ gilt deg C_{x} ≤ 2. Nach Lemma 3.3.5 können die C_{x} nicht in Geraden zerfallen, da sonst in E_{x} drei nicht kopunktale Geraden existieren würden. Denn mindestens eine der Geraden, in die C_{x} zerfällt, muß durch einen der beiden von x verschiedenen Schnittpunkte von g_{x} ∪ h_{x} mit C̄_{3} gehen, da diese im Schnitt (E_{x} ∩ F)^{div} nach Lemma 2.5.5 (a) zweifache Vielfachheiten besitzen. Diese Gerade geht dann nicht durch x, da sie von g_{x} und h_{x} verschieden ist. Also sind für alle x ∈ C̃_{3} die C_{x} Kegelschnitte, so daß auch in diesem Fall die Behauptung gezeigt ist.

Bemerkung: Die Mathematiker des letzten Jahrhunderts haben gezeigt, daß F, falls K_{1} allgemein, aber F keine Torse ist, projektiv äquivalent zu ihrer dualen Varietät ist. Die Trägerebenen der Kegelschnitte berühren F in zwei Punkten und gehören daher zur Doppelpunktskurve von F^{∨}. Hierzu, wie auch zu den übrigen Ausführungen dieses Paragraphen vergleiche man [16, S.437] und [15, S.1748].

Faßt man die Sätze dieses Abschnittes zusammen, so kann man die Quartiken vom Typ (a) gemäß Paragraph 3.2, die sich allesamt als Regelflächen erwiesen haben, in zwei Untertypen (a1) und (a2) aufteilen, je nachdem ob der lineare Komplex K_{1} aus Satz 3.3.3 speziell oder allgemein ist. Im ersten Fall besitzen die Quartiken überhaupt keine Kegelschnitte, im zweiten hingegen eine einparametrige Familie von Kegelschnitten.

3.4 Die Untersuchungsmethode von Segre

Für die Behandlung der Quartiken der Typen (b) bis (f) aber auch zum Teil des Typs (h) (gemäß 3.2) bedienen wir uns einer Untersuchungsmethode, die von C. Segre 1884 ([18]) eingeführt wurde, und die es uns gestattet, sämtliche Kegelschnitte auf diesen Flächen aufzufinden. Man betrachtet dabei im vierdimensionalen Raum IP^{4} zwei quadratische Hyperflächen Q_{1} und Q_{2} . Das von diesen aufgespannte lineare Büschel von Quadriken bezeichnen wir durchweg mit

L := {Q := V (λf_{1} + μf_{2}) | λ, μ ∈ k, (λ, μ) ≠ (0, 0)}.  (3.6)

Darin bedeuten f_{1} und f_{2} die quadratischen homogenen Formen des Polynomrings k[x_{0}, …, x_{4}] , deren Nullstellenmengen Q_{1} beziehungsweise Q_{2} sind. Der Schnitt

Φ := Q_{1} ∩ Q_{2}  (3.7)

ist eine Fläche, deren Irreduzibilität wir zunächst annehmen. Satz 2.1.3 lehrt deg Φ ≤ 4, wenn man Φ mit beliebigen Ebenen E schneidet und Satz 2.1.4 auf die ebenen Kurven (höchstens zweiten Grades) E ∩ Q_{1} und E ∩ Q_{2} anwendet. Offenbar gilt für Q′_{1}, Q′_{2} ∈ L ebenfalls Φ = Q′_{1} ∩ Q′_{2} (vgl. Lemma 2.3.2). Projiziert man nun Φ von einem beliebigen Punkt y ∈ IP^{4}\Φ auf eine Hyperebene H, welche y nicht enthält und die wir stets mit IP^{3} identifizieren wollen (d.h. wir nehmen i.d.R. an, daß die Koordinatengrundpunkte A_{0}, …, A_{3} in H liegen), so erhält man i.a. eine Quartik des IP^{3} . Die Projektion vom Punkt y auf H bezeichnen wir durchweg mit

π_{y} : IP^{4}\{y} → H.  (3.8)

Wir untersuchen zunächst, welche Art von Quartiken des IP^{3} man durch eine solche Projektion erhalten kann.

Satz 3.4.1. Zu einer Quartik F des IP^{3} gibt es genau dann einen Punkt y und eine Fläche Φ im IP^{4} der oben definierten Art mit π_{y}(Φ) = F, wenn sich das irreduzible homogene Polynom f, dessen Nullstellenmenge F ist, in der Form f = u_{2}^{2} − u_{1}^{2}v_{2} mit Polynomen u_{1}, u_{2}, v_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] , welche homogen vom Grad der Indizes sind, schreiben läßt.

Beweis. Zu den Quadriken Q_{1} und Q_{2} gehören symetrische Darstellungsmatrizen A_{1} und A_{2} (d.h. f_{i}(x) = x^{∗}A_{i}x für i = 1, 2). Die von diesen induzierten Bilinearformen g_{i}(x, y) := x^{∗}A_{i}y sind die Polarformen der Q_{i}. Damit gilt

f_{i}(λx + μy) = λ^{2}f_{i}(x) + 2λμg_{i}(x, y) + μ^{2}f_{i}(x) für i = 1, 2.

Es wird nun die Gleichung des Kegels mit Spitze y an die Fläche Φ aufgestellt. Dazu hat man die Resultante der beiden Polynome f_{i}(λx + μy) in den Unbestimmten λ und μ zu bilden, denn diese verschwindet genau für diejenigen Punkte x, für die diese beiden Polynome eine gemeinsame Nullstelle besitzen, und dies sind gerade die Punkte, deren Verbindungsgerade mit y die Fläche Φ schneidet. Die Resultante R(p_{1}, p_{2}) zweier quadratischer Polynome p_{i} := a_{i}λ^{2} + 2b_{i}λμ + c_{i}μ^{2} (i = 1, 2) berechnet sich zu

R(p_{1}, p_{2}) = (c_{1}a_{2} − c_{2}a_{1})^{2} + 4(b_{1}a_{2} − b_{2}a_{1})(b_{1}c_{2} − b_{2}c_{1}).

Also hat der Kegel Z := \{x ∈ IP^{4}\\{y\} | \overline{xy} ∩ Φ ≠ ∅\} ∪ \{y\} (\overline{xy} bezeichne die Verbindungsgerade von x und y) die Gleichung

g = (f_{1}(x)f_{2}(y) − f_{1}(y)f_{2}(x))^{2}+
+4(f_{1}(x)g_{2}(x, y) − f_{2}(x)g_{1}(x, y))(f_{1}(y)g_{2}(x, y) − f_{2}(y)g_{1}(x, y)) = 0.

Man kann nun o.B.d.A. y ∈ Q_{1} annehmen, da in L stets eine Quadrik existiert, welche y enthält (vgl. Lemma 2.3.1), also α := f_{2}(y) ≠ 0 und wegen f_{1}(y) = 0 vereinfacht sich obige Gleichung zu

g = α^{2}f_{1}(x)^{2} − 4αg_{1}(x, y)(f_{1}(x)g_{2}(x, y) − f_{2}(x)g_{1}(x, y)) =
= (αf_{1}(x) − 2g_{1}(x, y)g_{2}(x, y))^{2} − 4g_{1}(x, y)^{2}(g_{2}(x, y)^{2} − αf_{2}(x)) = 0. (3.9)

Setzt man hierin x_{4} = 0, so folgt wegen F = Z ∩ V (x_{4}) die Notwendigkeit der Gestalt von f. Um einzusehen, daß diese Gestalt auch hinreichend ist, definiert man zu vorgegebenem f = u_{2}^{2} − u_{1}^{2}v_{2} die Quadriken Q_{1} und Q_{2} durch die Gleichungen f_{1} := u_{2} + 2u_{1}x_{4} = 0 und f_{2} := x_{4}^{2} − \frac{1}{4}v_{2} = 0 und wählt y = (0, 0, 0, 0, 1). Dann gilt f_{1}(y) = 0, f_{2}(y) = α = 1, g_{1}(x, y) = u_{1}(x) und schließlich g_{2}(x, y) = x_{4} . Setzt man dies in Gleichung (3.9) ein, so erhält man für die Fläche Φ := V (f_{1}) ∩ V (f_{2}) gerade π_{y}(Φ) = Z ∩ H = F (wie eingangs ist H die Hyperebene V (x_{4})).

Bemerkung 3.4.2. Eine beliebige Fläche Φ := V (f_{1}) ∩ V (f_{2}) mit π_{y}(Φ) = F = V (u_{2}^{2} − u_{1}^{1}v_{2}) ist unter der Voraussetzung, daß u_{1} proportional zu g_{1}(x, y) ist, stets projektiv äquivalent zu der im zweiten Beweisschritt definierten Fläche Φ̃ = V (u_{2} + 2u_{1}x_{4}) ∩ V (x_{4}^{2} − \frac{1}{4}v_{2}).

Beweis. Man wählt bei fester Vorgabe von F aber beliebiger Vorgabe von Φ = Q_{1} ∩ Q_{2} und y ∈ Q_{1} zunächst y als Koordinatengrundpunkt A_{4} . Dann ist in (3.9) g ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] , da y die Spitze des Kegels Z ist, und man kann g so normieren, daß g = f = u_{2}^{2} − u_{1}^{2}v_{2} gilt. Nun ist g_{1}(x, y) proportional zu u_{1} . Das ergibt für f_{1} zunächst den Ansatz f_{1} = w_{2} + λu_{1}x_{4} mit homogenem und quadratischem w_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] sowie λ ∈ k. Demzufolge ergibt (3.9) g = w_{2}^{2} + u_{1}r_{3} mit einem Restpolynom r_{3} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] von drittem Grad. Nun sieht man, daß das Primelement u_{1} die Form u_{2} + w_{2} oder u_{2} − w_{2} teilt (u_{2}^{2} − w_{2}^{2} = u_{1}(u_{1}v_{2} + r_{3})). In beiden Fällen findet man für die eindeutig bestimmte Quadrik Q_{1} ∈ L mit y ∈ Q_{1} als Gleichung f_{1} = u_{2} + 2u_{1}v_{1} mit einem v_{1} ∈ k[x_{0}, …, x_{4}] und v_{1}(y) ≠ 0. Nun kann man die Koordinatengrundpunkte A_{0}, …, A_{3} längs der Erzeugenden von Z, auf denen sie liegen, in die Hyperebene H′ := V (v_{1}) verschieben. Das Polynom g ändert sich bei dieser Koordinatentransformation nicht, wohl aber transformiert sich die Gleichung von Q_{1} bei geeigneter Wahl des Normierungspunktes des Koordinatensystems auf die Gestalt f_{1} = u_{2} + 2u_{1}x_{4} = 0. Bezeichnet man w_{1} := g_{2}(x, y), so folgt aus (3.9) g = u_{2}^{2} + 4u_{1}(x_{4} − w_{1})u_{2} − 4u_{1}^{2}(w_{1}^{2} − f_{2} − (x_{4} − w_{1})^{2}) und aus einem Vergleich mit g = u_{2}^{2} −u_{1}^{2}v_{2} erhält man (x_{4} −w_{1})u_{2} = u_{1}(2x_{4}w_{1} −f_{2} −x_{4}^{2} − \frac{1}{4}v_{2}). Im Fall w_{1} = x_{4} ergibt sich unmittelbar f_{2} = x_{4}^{2} − \frac{1}{4}v_{2} . Für w_{1} ≠ x_{4} liefert die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in k[x_{0}, …, x_{4}] die Existenz eines skalaren Faktors λ mit w_{1} = x_{4} − λu_{1} (u_{1} kann u_{2} wegen der Irreduzibilität von f_{1} nicht teilen) und man erhält f_{2} = x_{4}^{2} − \frac{1}{4}v_{2} − λf_{1} . In beiden Fällen sieht man aber, daß die hier beliebig vorgegebene Fläche Φ in geeignetem Koordinatensystem dieselben Gleichungen wie Φ̃ besitzt, woraus die Behauptung folgt.

Korollar 3.4.3. Für eine Quartik F, zu der y und Φ gemäß obiger Vereinbarung existieren, enthält Sing F die Kurve Y := π_{y}(T_{y}Q) ∩ F = V ({u_{2}, u_{1}}), wobei Q ∈ L (siehe (3.6)) die Quadrik mit y ∈ Q ist. Y ist ein Kegelschnitt, ein Paar von Geraden oder eine einzelne Gerade, je nachdem ob Q singularitätenfrei, ein Kegel mit nulldimensionalem singulären Ort (Kegel erster Art) oder ein Kegel mit einer Geraden als Spitze (Kegel zweiter Art) ist.

Beweis. Die Behauptung folgt aus (3.9), wenn man T_{y}Q = V (g_{1}(x, y)) beachtet und berücksichtigt, daß T_{y}Q ∩ Q ein irreduzibler Kegel, ein paar verschiedener Ebenen bzw. eine einzelne Ebene je nach den obigen drei Fällen ist (betrachte die Ableitungen von g in (3.9)). Das Projektionszentrum y kann nicht in der Spitze eines Kegels Q aus L liegen, da sonst F = H ∩ Q eine Quadrik wäre.

Satz 3.4.4. Sei C_{2} ⊂ Φ ein Kegelschnitt oder ein Paar sich schneidender Geraden. Ist E ⊂ IP^{4} die Trägerebene von C_{2} , so gibt es in L einen Kegel Q, welcher E enthält. Ist umgekehrt Q ∈ L ein Kegel und E ⊂ Q eine Ebene, so ist der Schnitt E ∩Φ ein Kegelschnitt, ein Paar von Geraden oder eine einzelne Gerade.

Beweis. Die zweite Behauptung des Satzes ist sofort klar, da für jede Ebene E ⊂ Q unter der Annahme Q ≠ Q_{1} (o.B.d.A.) E ∩ Φ = E ∩ Q_{1} gilt. Weil Φ nach Voraussetzung irreduzibel ist, gilt außerdem E ⊈ Φ. Zum Beweis der ersten Behauptung sei x ∈ E\C_{2} . Dann gibt es eine Quadrik Q ∈ L mit x ∈ Q. Aus C_{2} ⊂ Q folgt dann E ⊂ Q (wende Satz 2.1.3 auf Geraden durch x in E an). Im Beweis des Lemmas 3.3.5 wurde aber bereits bemerkt, daß eine Quadrik im IP^{4} , welche eine Ebene enthält, notwendigerweise ein Kegel ist.

An dieser Stelle sollten kurz einige Eigenschaften der irreduziblen dreidimensionalen quadratischen Kegel des IP^{4} erwähnt werden. Im Gegensatz zu den quadratischen Kegeln des IP^{3} gibt es unter diesen zwei verschiedene Arten, entsprechend der Dimension der Kegelspitze. Für diese wurde schon in Korollar 3.4.3 die Benennung erste und zweite Art eingeführt. Entsprechend den zwei linearen Systemen von Geraden auf einer singularitätenfreien Quadrik des IP^{3} gibt es auf den Kegeln erster Art zwei lineare Systeme von Ebenen. Zwei Ebenen des gleichen Systems schneiden sich in der Kegelspitze, während sich zwei Ebenen unterschiedlicher Systeme in einer Erzeugenden (Gerade durch die Kegelspitze) des Kegels schneiden. Die Ebenen des einen linearen Systems werden von den Hyperebenen des linearen Büschels aller Hyperebenen durch eine Ebene des anderen Systems ausgeschnitten. Die Tangentialhyperebenen des Kegels berühren längs erzeugender Geraden und schneiden zwei Ebenen je eines der beiden Systeme aus dem Kegel aus. Ein Kegel zweiter Art besitzt nur ein lineares System von Ebenen, welche alle die Doppelpunktsgerade desselben enthalten. Sie werden von den Elementen des linearen Büschels aller Hyperebenen durch eine der Ebenen des Kegels ausgeschnitten. Die Tangentialhyperebenen berühren diesen längs seiner Ebenen. Nun induzieren die linearen Büschel von Ebenen der Kegel aus L lineare Büschel von Kurven auf Φ, die von den zugehörigen Hyperebenenbüscheln ausgeschnitten werden, und bei denen es sich Satz 3.4.4 zufolge um Geraden, Geradenpaare oder Kegelschnitte handelt.

Satz 3.4.5. Falls die Fläche Φ irreduzibel und von vierter Ordnung ist, so ist für jedes y ∉ Φ, welches nicht die Spitze eines Kegels aus L ist, das Bild F := π_{y}(Φ) unter der Projektion von y auf die Hyperebene H ∌ y ebenfalls irreduzibel und von viertem Grad.

Beweis. Die Fläche F ist irreduzibel nach Satz 1.2.1 und an (3.9) erkennt man, daß ihr Grad höchstens vier ist. Es wird nun angenommen, der Grad von F sei kleiner als vier. Die Form g aus (3.9) ist dann Potenz eines irreduziblen Polynoms ersten oder zweiten Grades. Also ist Z eine Hyperebene oder Quadrik. Im ersten Fall wäre Φ = Q_{2} ∩ Z (o.B.d.A. y ∉ Q_{2} ) eine quadratische Fläche entgegen der Annahme. Auch im zweiten Fall gilt Φ = Q_{2} ∩ Z. Würde Z die Quadrik Q_{2} längs Φ berühren, so wäre Φ in der Polarhyperebene P von y bezüglich Q_{2} enthalten, und wie oben folgt deg Φ = 2. Also schneidet der Berührkegel von y an Q_{2} Z in einer echten abgeschlossenen Teilmenge. Damit gibt es eine nichtleere offene Menge von Erzeugenden von Z, die Q_{2} in zwei verschiedenen Punkten schneiden. Demzufolge ist Z die einzige Quadrik, die Φ und y enthält, da eine solche alle diese Erzeugenden enthalten muß (Satz 2.1.3). Nun gibt es in L aber eine Quadrik, welche Φ und y enthält, also folgt Z ∈ L. Dann ist aber y Spitze eines Kegels aus L im Gegensatz zur Annahme.

Satz 3.4.6. Sei π_{y} : Φ → F die Projektion von Φ auf F. Mit Y werde die Kurve nach Korollar 3.4.3 bezeichnet. Dann gilt:

(a) Das Bild einer nicht in π_{y}^{−1}(Y) enthaltenen Gerade ist eine Gerade auf F.

(b) Das Bild eines nicht in π_{y}^{−1}(Y) enthaltenen Kegelschnitts ist ein Kegelschnitt auf F.

(c) Der eindimensionale Anteil des Urbildes einer nicht in Y enthaltenen Geraden ist eine Gerade auf Φ.

(d) Das Urbild eines nicht in Y enthaltenen Kegelschnitts ist ein Kegelschnitt auf Φ.

Beweis. Behauptung (a) ist klar, da für eine Gerade g auf Φ wegen y ∉ Φ nicht dim π_{y}(g) = 0 gelten kann. Zu (b): Wäre für einen Kegelschnitt C_{2} das Bild π_{y}(C_{2}) eine Gerade g ⊂ F, so wäre C_{2} in der Verbindungsebene E von y und g enthalten. Folglich ist die Quadrik Q ∈ L mit y ∈ Q ein Kegel (siehe Satz 3.4.4) und aus E ⊂ T_{y}Q (siehe Abhandlung im Anschluß an Satz 3.4.4) folgt π_{y}(C_{2}) ⊆ Y . Zu (c): Sei g eine nicht in Y enthaltene Gerade auf F und E die Verbindungsebene von g und y. Es gilt dim (E ∩ Φ) = 1. Betrachtet man nun für zwei beliebige Quadriken Q_{1}, Q_{2} ∈ L die Schnitte E ∩Q_{1} und E ∩Q_{2} , so sieht man, daß der eindimensionale Anteil des Schnittes E ∩ Q_{1} ∩ Q_{2} = E ∩ Φ als Schnitt zweier Kurven höchstens zweiten Grades eine Gerade, ein Geradenpaar oder ein Kegelschnitt ist. Die beiden letzteren Fälle sind nach Satz 3.4.4 nicht möglich, denn in diesen wäre E in einem Kegel Q aus L enthalten. Gemäß Korollar 3.4.3 gilt dann wegen E ⊂ T_{y}Q g ⊆ Y . Zu (d): Sei C_{2} ⊂ F, C_{2} ⊈ Y ein Kegelschnitt mit der Trägerebene E und R := \overline{(E ∩ F)\C_{2}} die Restkurve des Schnittes von F mit E (R ist die leere Menge oder eine Kurve). Die Verbindungshyperebene von E und y wird mit V bezeichnet. Fall 1: R ≠ ∅. In diesem Fall muß Φ∩V Satz 1.2.1 (a) zufolge reduzibel sein. Nun ist Φ∩V von höchstens vierter Ordnung (Satz 2.1.3), und daher ist C := π_{y}^{−1}(C_{2}) ⊂ Φ ∩ V wegen R ≠ ∅ von höchstens dritter Ordnung. Nach (a) enthält C keine Geraden. Wäre C eine irreduzible kubische Kurve, so wäre y ∈ C notwendig, da andernfalls π_{y}(C) auch von dritter Ordnung wäre. Dies hätte aber y ∈ Φ zur Folge und daraus schließt man, daß C ein Kegelschnitt ist. Fall 2: R = ∅. Sei K der quadratische Kegel von y an C_{2} und C := π_{y}^{−1}(C_{2}) = Φ∩V = Φ∩K. Angenommen, C wäre kein Kegelschnitt. Sei mit Φ = Q_{1}∩Q_{2} o.B.d.A. y ∈ Q_{1} . Durch Q′_{1} := Q_{1} ∩ V und Q′_{2} := Q_{2} ∩ V werden die durch Q_{1} und Q_{2} in V induzierten Quadriken bezeichnet. Da C = Q′_{1} ∩ Q′_{2} nach (a) bestimmt keine Geraden enthält, kann nach Bemerkung 2.1.6 C nur noch von vierter Ordnung sein. Wegen y ∉ Q′_{2} gilt Q′_{2} ≠ K und man erhält C = Q′_{2} ∩ K. Daraus erkennt man, daß es eine nichtleere offene Teilmenge von Erzeugenden von K gibt, welche C in zwei verschiedene Punkten schneiden, denn würde der Quadratische Kegel K die Quadrik Q′_{2} längs C berühren, so wäre C ein Kegelschnitt (vgl. Beweis von Satz 3.4.5 oder Bemerkung 2.1.6). Demzufolge ist aber K die einzige Quadrik in V , die y und C enthält, da eine solche auch alle diese Erzeugenden enthalten muß, und es folgt K = Q′_{1} , insbesonsere also μ_{y}((V ∩ Q_{1})^{div}) = 2. Wie schon oben dargelegt, kann y nur ein regulärer Punkt von Q_{1} sein. Man erhält mit Lemma 2.5.5 V = T_{y}Q_{1} und daraus einen Widerspruch zu C_{2} ⊈ Y (Korollar 3.4.3).

Satz 3.4.7. Die Quadrik Q sei ein Kegel des linearen Büschels L. Die Bedeutung der Bezeichnungen L, Φ, π_{y} und Y entnehme man der Einleitung dieses Paragraphen bzw. Korollar 3.4.3. Dann gelten die folgenden Aussagen:

(a) Wenn Q von erster Art ist und y ∉ Q, dann werden die beiden durch Q induzierten linearen Kurvensysteme auf Φ mittels π_{y} auf zwei lineare Kurvensysteme auf F := π_{y}(Φ) abgebildet. Es gibt einen quadratischen Kegel K ⊂ IP^{3} , so daß jede Tangentialebene von K die Quartik F in zwei Kurven je eines der beiden Systeme schneidet. Alle so projizierten Kurven sind in Tangentialebenen von K enthalten. K wird ein Kummerscher Kegel von F genannt.

(b) Wenn Q von erster Art ist und y ∈ Q, dann werden die beiden durch Q auf Φ induzierten Kurvensysteme mittels π_{y} auf die zwei linearen Kurvensysteme auf F abgebildet, deren Kurven von den Ebenen der Büschel g_{1}^{∨} und g_{2}^{∨} ausgeschnitten werden, wobei Y in die Geraden g_{1} und g_{2} zerfällt und die festen Bestandteile g_{1} bzw. g_{2} aus diesen Kurvensystemen entfernt sind (siehe Paragraph 2.4).

(c) Wenn Q von zweiter Art ist und y ∉ Q, dann wird das durch Q auf Φ induzierte Kurvensystem mittels π_{y} auf ein lineares Kurvensystem auf F abgebildet, dessen Kurven von den Ebenen eines linearen Büschels g^{∨} ausgeschnitten werden.

(d) Wenn Q von zweiter Art ist und y ∈ Q, dann wird das durch Q auf Φ induzierte Kurvensystem mittels π_{y} auf das lineare Kurvensystem auf F abgebildet, dessen Kurven von den Ebenen des linearen Büschels g^{∨} ausgeschnitten werden, wobei g = Y gilt und der feste Bestandteil g aus diesem Kurvensystem entfernt ist.

Beweis. Zu (a): Da man bei Abänderung der Projektionshyperebene H auf eine zu F projektiv äquivalente Fläche geführt wird, kann man o.B.d.A. H als Polarhyperebene von y bezüglich Q annehmen. Insbesondere geht dann H durch die Spitze s von Q (gilt für alle Polarhyperebenen), so daß K := H ∩ Q ein quadratischer irreduzibler Kegel ist (H ist keine Tangentialhyperebene wegen y ∉ Q). Durch jede Erzeugende von K gehen zwei Ebenen von Q, da jene ebenso Erzeugende von Q sind. Andererseits enthält jede Ebene auf Q eine Erzeugende von K, nämlich die Schnittgerade mit H. Die Tangentialhyperebene T_{x}Q in x ∈ K\s geht durch y (Polareneigenschaft!) und es gilt T_{x}Q ∩ H = T_{x}K also π_{y}(T_{x}Q) = T_{x}K . Demnach werden die beiden von T_{x}Q aus Q ausgeschnittenen Ebenen auf T_{x}K abgebildet, und da man so alle Ebenen auf Q erreicht folgt die Behauptung (a) abgesehen davon, daß es sich wieder um ein lineares System von Kurven auf F handelt. Zwar folgt dieser letzte Schritt aus der Birationalität von π_{y}, dennoch soll er hier explizit durchgeführt werden. Dazu nehmen wir in Gleichung (3.9) o.B.d.A. Q = V (f_{2}) an. Man kann Koordinaten so wählen, daß H = V (x_{4}) und T_{y}Q_{1} = V (x_{3}) gilt. Weil H polar zu y ist, muß g_{2}(x, y) proportional zu x_{4} sein. Durch Nullsetzen von x_{4} erhält man die quadratischen Formen u_{2} := αf_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0) und v_{2} := αf_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0) aus k[x_{0}, …, x_{3}] und es gilt K = V (v_{2}). Nun ist K ein irreduzibler Kegel. Folglich gibt es lineare Formen u_{1}, v_{1} und w_{1} mit v_{2} = u_{1}w_{1} − v_{1}^{2} . Die Gleichung von F schreibt sich dann (gemäß (3.9))

f = u_{2}^{2} + 4x_{3}^{2}(u_{1}w_{1} − v_{1}^{2}) = 0.  (∗)

Die Elemente des linearen Büschels M von Divisoren zweiten Grades des IP^{3} , welches durch den eindimensionalen linearen Unterraum

U := {u_{λμ} := μu_{2} + 2x_{3}(λu_{1} − μv_{1}) | λ, μ ∈ k, (λ, μ) ≠ (0, 0)}

homogener quadratischer Formen gegeben ist, schneiden F sowohl in Y = V ({u_{2}, x_{3}}) als auch in den Kurven C_{0} := V ({u_{01}, u_{1}}) und

C_{λμ} := V ({u_{λμ}, e_{λμ}}),

wobei (λ, μ) ≠ (1, 0) und e_{λμ} := λ^{2}u_{1} − 2λμv_{1} + μ^{2}w_{1} ist. Man bestätigt dies durch Einsetzen von μu_{2} = −2x_{3}(λu_{1}−μv_{1}) in μ^{2}f (in (∗)), was auf 4x_{3}^{2}u_{1}e_{λμ} = 0 führt. Die Ebenen V (e_{λμ}) sind nun aber gerade die Tangentialebenen von K. Das von M erzeugte lineare Kurvensystem auf F besitzt daher den festen Bestandteil Y ∪C_{0} . Entfernt man diesen, so erhält man eines der beiden linearen Kurvensysteme. Das andere erhält man, wenn man anstelle der Polynome u_{λμ} die Formen v_{λμ} := μu_{2} + 2x_{3}(λu_{1} + μv_{1}) betrachtet. Zu diesen Ausführungen vergleiche man [12, S.39]. Zu (b): Es ist T_{y}Q ∩ Q = E_{1} ∪ E_{2} mit zwei verschiedenen Ebenen E_{1} und E_{2} , die je einem der beiden linearen System L_{1} und L_{2} von Ebenen auf Q angehören. Alle Ebenen von L_{1} schneiden E_{2} in einer Geraden und alle zu L_{2} gehörigen Ebenen schneiden E_{1} in einer Geraden. Deshalb werden alle Ebenen aus L_{1} auf Ebenen durch g_{2} := π_{y}(E_{2}) und alle Ebenen aus L_{2} auf solche durch g_{1} := π_{y}(E_{1}) abgebildet. Wegen g_{1} ∪ g_{2} = Y folgt daraus die Behauptung. Zu (c): Sei s die eindimensionalen Spitze von Q. Nun gehen alle Ebenen von Q durch s und werden daher auf Ebenen durch g := π_{y}(s) abgebildet, woraus die Behauptung folgt. Zu (d): Da y ∉ s, aber T_{y}Q ⊃ s für die eindimensionale Spitze s von Q gilt, hat man π_{y}(s) = Y (Korollar 3.4.3). Nun geht jede Ebene von Q durch s, also ihr Bild durch Y .

Satz 3.4.8. Die Fläche Φ sei von vierter Ordnung und kein Kegel. Alle Quadriken des linearen Büschels L (siehe (3.6)) seien Kegel. Dann gibt es eine nichtleere offene Teilmenge L̃ ⊆ L mit der Eigenschaft, daß alle Quadriken aus L̃ Kegel erster Art sind. Weiterhin gibt es genau eine Gerade g auf Φ. Auf dieser liegen die Spitzen aller Kegel aus L̃ und umgekehrt ist jeder Punkt von g in der Spitze eines Kegels aus L enthalten.

Beweis. Um den ersten Teil der Behauptung zu zeigen, genügt es, einen Kegel erster Art in L zu finden, da die Menge der Kegel erster Art in der der quadratischen Kegel des IP^{4} offen ist (Determinantenbedingung!). Wir nehmen nun an, es gäbe einen solchen nicht. Es gibt in L dann sicherlich einen Kegel Q_{1} zweiter Art, denn wären alle Elemente aus L reduzibel, so würde Φ als Schnitt zweier Hyperebenenpaare in Ebenen zerfallen. Mit Hilfe des Sylvesterschen Trägheitssatzes läßt sich die Darstellungsmatrix A_{1} von Q_{1} auf eine Gestalt transformieren, in der die linke obere 3 × 3–Untermatrix die Einheitsmatrix ist und alle übrigen Einträge null sind. Die Matrix von Q_{2} sei A_{2} = (a_{ij})_{i,j=0,...,4} . Wenn es in L keine Kegel erster Art gibt, verschwinden det(A_{1}λ + A_{2}) und alle 4 × 4– Unterdeterminanten davon identisch in λ. Der Koeffizient des Terms λ^{3} in der durch Streichen der vierten Zeile und Spalte entstehenden Unterdeterminante ist a_{33} . Streicht man die dritte Zeile und Spalte, so erhält man als Koeffizient von λ^{3} die Zahl a_{44} . Deshalb gilt a_{33} = a_{44} = 0. Nun berechnet man die Koeffi-

zienten von λ^{3} im Polynom det(A_{1}λ+A_{2}) zu det ( \begin{matrix}a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{matrix} ) und man schließt

a_{34} = 0. Daher muß die Spitze s_{1} von Q_{1} (dies ist die Verbindungsgerade der beiden Punkte (0,0,0,1,0) und (0,0,0,0,1)) auf Q_{2} liegen. Allerdings ist die Spitze s_{1} von der von Q_{2} verschieden, denn andernfalls wäre die Verbindungsebene eines beliebigen Punktes x ∈ Φ\s_{1} mit s_{1} in Φ enthalten und das widerspricht den Voraussetzungen über Φ. Dennoch schneidet s_{1} die Spitze s_{2} von Q_{2} , da alle Geraden auf einem Kegel zweiter Art dessen Spitze schneiden. Dann sind s_{1} und s_{2} aber in einer Ebene enthalten und auch diese müßte in Φ enthalten sein. Also gelangt man auch hier zu einem Widerspruch und die Annahme, daß es keinen Kegel erster Art in L gibt, muß verworfen werden. Für das weitere sei Q_{1} ein Kegel erster Art. Wir schreiben dessen Darstellungsmatrix A_{1} mit Hilfe des Trägheitssatzes in der Gestalt

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Nach der Voraussetzung, daß alle Elemente des linearen Büschels L Kegel sind, muß immerhin noch det(A_{1}λ+A_{2}) identisch in λ verschwinden. Wie oben sieht man, daß für die Darstellungsmatrix A_{2} von Q_{2} daraus a_{44} = 0 resultiert, und man folgert, daß die Spitze s_{1} = (0, 0, 0, 0, 1) von Q_{1} auf Φ liegen muß. Da Q_{1} jeder beliebige Kegel aus L̃ sein kann, liegen alle solche Spitzen auf Φ. Für zwei verschiede Elemente aus L̃ sind auch deren Spitzen s_{1}, s_{2} verschieden, denn andernfalls läge für jedes x ∈ Φ\s_{1} die Verbindungsgerade von x und s_{1} auf Φ und Φ wäre entgegen der Voraussetzung ein Kegel. Die Verbindungsgerade von s_{1} und s_{2} liegt dann auf Φ, da sie sowohl auf Q_{1} als auch auf Q_{2} liegt. Nun können keine drei Spitzen zu Kegeln aus L̃ eine Ebene aufspannen, da diese sonst in Φ enthalten wäre. Denn die drei Spitzen liegen in allen drei zugehörigen Kegeln, also auch deren Verbindungsebene, da die Kegel von zweiter Ordnung sind (Satz 2.1.3). Somit liegen alle diese Kegelspitzen auf einer Geraden g ⊂ Φ. Wählt man nun bei vorgegebenen Q_{1}, Q_{2} ∈ L̃ das Koordinatensystem neu, so daß für die zugehörigen Spitzen s_{1} = (0, 0, 0, 0, 1) und s_{2} = (1, 0, 0, 0, 0) gilt, dann erhält man für die Darstellungsmatrizen A_{1} = (a_{ij})_{i,j=0,...,4} und A_{2} = (b_{ij})_{i,j=0,...,4} von Q_{1} und Q_{2} a_{00} = a_{i4} = a_{4i} = 0 sowie b_{44} = b_{i0} = b_{0i} = 0 für i = 0, …, 4. Da es nun auf g mindestens drei Spitzen gibt, sind a := (0, a_{01}, a_{02}, a_{03}, 0) und b := (0, b_{14}, a_{24}, a_{34}, 0) linear abhängig, etwa σa + τb = 0 (σ = λξ und τ = μη falls λs_{1} + μs_{2} Spitze des Kegels mit Darstellungsmatrix ξA_{1} + ηA_{2} ist). Ein beliebiger Punkt x = (λ, 0, 0, 0, μ) ∈ g\{s_{1}, s_{2}} ist daher Spitze der Quadrik Q ∈ L mit der Darstellungsmatrix \frac{σ}{λ}A_{1} + \frac{τ}{μ}A_{2} . Es bleibt zu zeigen, daß g die einzige Gerade auf Φ ist. Dazu nehmen wir eine weitere Gerade h ⊂ Φ an und betrachten zunächst den Fall, wo sich g und h schneiden, also in einer Ebene E enthalten sind. Betrachtet man zwei verschieden Spitzen s_{1}, s_{2} ∈ g\h, so ist E in den beiden zugehörigen Quadriken Q_{1} und Q_{2} enthalten und man wird abermals auf den Widerspruch E ⊆ Φ geführt. Nun können g und h nur noch windschief sein. Zu einem beliebigen s_{1} ∈ g sei E die Verbindungsebene von s_{1} und h. Satz 3.4.4 zufolge enthält der Schnitt E ∩ Φ eine weitere Gerade h̃, die notwendigerweise durch s_{1} geht. Die Existenz von h̃ ist aber bereits durch die Betrachtung des ersten Falls widerlegt.

Die durch diesen Satz behandelten Flächen Φ werden im Paragraphen 3.6 im Zusammenhang mit der Römerfläche von Steiner und ihren Entartungstypen eine Rolle spielen. Für den Rest dieses Paragraphen wenden wir uns aber denjenigen Flächen Φ zu, für die es im linearen Büschel L (aus (3.6)) singularitätenfreie Quadriken gibt (diese bilden dann natürlich eine offene Menge in L). Wir werden zu ihrer Untersuchung zunächt das Koordinatensystem anpassen um eine Normaldarstellung der Fläche zu erreichen. Dies geschieht mit Hilfe des folgenden Satzes aus der lineare Algebra:

Satz 3.4.9. Es sei A eine symmetrische n × n–Matrix mit Komponenten aus dem algebraisch abgeschlossenen Körper k der Charakteristik Null. Mit I_{t} bezeichnen wir die t × t–Matrizen, in der auf der Nebendiagonalen lediglich Einsen stehen, während alle anderen Einträge null sind (I_{t} = (δ_{i(t−j)})_{i,j=1,...,t}, Kroneckersymbol!). Dann gibt es eine Matrix T, die A auf Jordansche Normalform transformiert und für die zusätzlich

T^{∗}T = ( \begin{matrix}I_{t_{1}} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & I_{t_{r}} \end{matrix} ) =: I_{t_{1}...t_{r}}

gilt, wobei die Zahlen t_{1}, …, t_{r} den Längen der ‘Jordankästen’ von T^{−1}AT entspechen.

Beweis. Für einen Untervektorraum U ⊂ k^{n} sei Û := {x ∈ k^{n} | u^{∗}x = 0 ∀u ∈ U} der Polarraum von U (bezüglich der Quadrik mit der Gleichung: x_{1}^{2}+…+x_{n}^{2} = 0). Es gilt zwar dim U+dim Û = n, aber U∩Û = {0} braucht im allgemeinen nicht zu gelten, da k algebraisch abgeschlossen ist. H(λ) bezeichne den Hauptraum zum Eigenwert λ und E(λ) den Eigenraum. Behauptung 1: Für λ ≠ μ gilt Ĥ(λ) ⊇ H(μ). Sei v ∈ H(λ) und w ∈ H(μ). Wir bezeichnen mit E die Einheitsmatrix und setzen w_{i} := (A − μE)^{s−i}w, wobei s so gewählt ist, daß w_{0} = 0 und w_{1} ≠ 0 ist. Für hinreichend großes r ≥ 1 erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie von A:

0 = (A − λE)^{r}v = v^{∗}(A − μE + (μ − λ)E)^{r} =

= v^{∗}(∑_{j=0}^{r} \binom{r}{j}(A − μE)^{j}(μ − λ)^{r−j}E) = 0.

Multipliziert man dies von rechts mit w_{i}, so ergibt sich:

∑_{j=0}^{r} \binom{r}{j}(μ − λ)^{r−j}v^{∗}w_{i−j} = 0.

Daraus folgt für r = i = 1, …, s sukzessive v^{∗}w_{i} = 0. Behauptung 2: Sei W :=< w_{1}, …, w_{s} > die lineare Hülle der w_{i} und w_{s}^{∗}w_{1} = 1. Dann gibt es Vektoren w′_{1}, …, w′_{s} mit W =< w′_{1}, …, w′_{s} > und

(w_{i}^{′∗}w′_{j})_{i,j=1,...,s} = I_{s}.

Es gilt w_{i}^{∗}w_{j} = ((A − λE)w_{i+1})^{∗}w_{j} = w_{i+1}^{∗}(A − λE)w_{j} = w_{i+1}^{∗}w_{j−1} für i < s und j ≥ 1. Speziell für i < s und j = 1 erhält man w_{i}^{∗}w_{1} = 0. Daher sind die Zahlen

α_{r} := w_{i}^{∗}w_{j} für r := i+j wohldefiniert und insbesondere α_{r} = 0 für r ≤ s, (∗)

d.h. in der Matrix (w_{i}^{∗}w_{j})_{i,j=1,...,s} haben die Nebendiagonalen konstante Werte. Die Bedingung w′_{i} = (A − λE)^{s−i}w′_{s} ergibt aus dem Ansatz w′_{i} = ∑_{j=1}^{s} a_{ij}w_{j} die Beziehung (A − λE)w′_{i} = ∑_{j=1}^{s} a_{ij}w_{j−1} = ∑_{j=1}^{s−1} a_{i(j+1)}w_{j} = ∑_{j=1}^{s} a_{(i−1)j}w_{j} = w′_{i−1} also a_{i(j+1)} = a_{(i−1)j} und a_{(i−1)s} = 0 für i = 2, …, s. Daher sind die Zahlen

d_{r} := a_{ij} für r := i − j + 1 wohldefiniert, insbesondere d_{r} = 0 für r ≤ 0. (∗∗)

Nun berechnen sich die Zahlen b_{i} := w_{s}^{′∗}w′_{i} zu

b_{i} = ∑_{k=1}^{s} ∑_{l=1}^{s} a_{sk}a_{il}w_{k}^{∗}w_{l} = ∑_{k=1}^{s} ∑_{l=1}^{s} d_{s−k+1}d_{i−l+1}α_{k+l}.

Hierin lassen sich wegen l ≤ i und k + l ≥ s + 1 die Summen zu b_{i} = ∑_{k=s−i+1}^{s} ∑_{l=s−k+1}^{i} d_{s−k+1}d_{i−l+1}α_{k+l} verkürzen (k + l ≤ s ⇒ α_{k+l} = 0 und l ≥ i + 1 ⇒ d_{i−l+1} = 0). In der Summe tritt die Zahl d_{i} nur für k = s − i + 1 (⇒ l = i) und l = 1 (⇒ k = s) auf. In beiden Fällen heißt der betreffende Summand d_{1}d_{i}α_{s+1} . Daran erkennt man

b_{i} = 2d_{1}d_{i}α_{s+1} − c_{i}(d_{1}, …, d_{i−1})  (∗∗∗)

wobei c_{i} ein Polynom in den Unbestimmten d_{1}, …, d_{i−1} ist. Setzt man d_{1} := 1, so kann man aus (∗∗∗) und der Bedingung b_{i} = 0 für i = 2, …, s die Zahlen d_{2}, …, d_{s} sukzessive berechnen, da α_{s+1} = w_{s}^{∗}w_{1} = 1 nach Voraussetzung gilt. Für die so berechneten w′_{i} erhält man w_{s}^{′∗}w′_{1} = b_{1} = d_{1}^{2}α_{s+1} = 1 und w_{s}^{′∗}w′_{i} = b_{i} = 0 für i = 2, …, s. Wendet man nun (∗) auf die Vektoren w′_{i} an, so folgt Behauptung 2. Nun können wir eine Basis aus Hauptvektoren h_{1}, …, h_{n} so konstruieren, daß mit T = (h_{1}, …, h_{n}) für T^{∗}T die gewünschte Gestalt I_{t_{1}...t_{r}} angenommen wird. Nach Behauptung 1 reicht es, die Konstruktion innerhalb eines Hauptraums etwa H(λ_{1}) zu erläutern ( λ_{1}, …, λ_{q} seien die Eigenwerte von A). Nun sei s_{1} die minimale Zahl mit H_{1} := Ker(A − λ_{1}E)^{s_{1}} = H(λ_{1}). Die Bilinearform β_{1}(x, y) := x^{∗}(A − λ_{1}E)^{s_{1}−1}y ist nicht für alle Vektorpaare x, y ∈ H_{1} Null, denn andernfalls wäre {0} ≠ (A − λ_{1}E)^{s_{1}−1}(H_{1}) ⊆ Ĥ_{1} ∩ H_{1} . Dies kann aber nicht sein, denn nach Behauptung 1 gilt Ĥ_{1} ⊇ ⨁_{i=2}^{q} H(λ_{i}), woraus wegen dim H_{1} + dim Ĥ_{1} = n und k^{n} = ⨁_{i=1}^{q} H(λ_{i}) zunächst Ĥ_{1} = ⨁_{i=2}^{q} H(λ_{i}) und daraus k^{n} = H_{1}⊕Ĥ_{1} folgt. Demzufolge gibt es ein w ∈ H_{1} mit β_{1}(w, w) ≠ 0, da andernfalls β_{1} auf H_{1} identisch verschwinden müßte. Unter Verwendung der Bezeichnung w_{i} = (A−λ_{1}E)^{s_{1}−i}w nehmen wir nun o.B.d.A. w_{s_{1}}^{∗}w_{1} = 1 an, so daß Behauptung 2 zufolge h_{1}, …, h_{s_{1}} existieren, für die W_{1} :=< w_{1}, …, w_{s_{1}} >=< h_{1}, …, h_{s_{1}} > und (h_{i}^{∗}h_{j})_{i,j=1,...,s_{1}} = I_{s_{1}} gilt. Im Fall W_{1} = H_{1} ist man fertig. Im Fall W_{1} ≠ H_{1} gilt Ŵ_{1} ∩ W_{1} = {0}, denn für y = ϱ_{1}h_{1} + … + ϱ_{s_{1}}h_{s_{1}} ∈ W_{1} mit ϱ_{1} ≠ 0 (o.B.d.A.) ist y^{∗}h_{s_{1}} = ϱ_{1} ≠ 0 also y ∉ Ŵ_{1} . Aus dim W_{1} + dim Ŵ_{1} = n folgt k^{n} = Ŵ_{1} ⊕ W_{1} . Mit H_{2} := H_{1} ∩ Ŵ_{1} ≠ {0} gilt H_{1} = W_{1} ⊕ H_{2} . Nun sei s_{2} minimal mit der Eigenschaft H_{2} ⊆ Ker(A − λ_{1}E)^{s_{2}} . Für w ∈ H_{2} hat man w_{i} := (A − λ_{1}E)^{s_{2}−i}w ∈ H_{2} , denn es gilt w_{i}^{∗}h_{j} = w_{s_{2}}^{∗}h_{j−s_{2}+i} = 0 für i = 1, …, s_{2} und j = 1, …, s_{1} also w_{i} ∈ H_{1} ∩ Ŵ_{1} . Nun sieht man analog wie oben, daß H_{2} ∩Ĥ_{2} = {0} wegen k^{n} = W_{1} ⊕H_{2} ⊕H(λ_{2})⊕…⊕H(λ_{q}) und Ĥ_{2} = W_{1}⊕H(λ_{2})⊕…⊕H(λ_{q}) gilt (Ĥ_{2} ⊇ ⨁_{i=2}^{q} H(λ_{i}) wegen Ĥ_{2} ⊇ Ĥ_{1}, Ĥ_{2} ⊇ W_{1} wegen Ŵ_{1} ⊇ H_{2} und Gleichheit wegen dim H_{2} + dim Ĥ_{2} = n). Daher gibt es wieder ein w ∈ H_{2} mit w_{s_{2}}^{∗}w_{1} = 1 (s.o.) und man kann wiederum h_{s_{1}+1}, …, h_{s_{1}+s_{2}} gemäß Behauptung 2 wählen. Falls < h_{s_{1}+1}, …, h_{s_{1}+s_{2}} >=: W_{2} = H_{2} gilt, ist man fertig. Andernfalls kann man das Verfahren wegen Ŵ_{2} ∩ W_{2} = {0} fortführen. Da nun (h_{i}^{∗}h_{j})_{i,j=s_{l}+1,...,s_{l+1}} = I_{s_{l+1}} und h_{i}^{∗}h_{j} = 0 für h_{i}, h_{j} aus verschiedenen Untervektorräumen W_{k} gilt, erhält man die gewünschte Gestalt von T^{∗}T.

Ist nun eine Fläche Φ = Q_{1} ∩ Q_{2} ⊂ IP^{4} vorgelegt und (o.B.d.A.) Q_{1} singularitätenfrei, so kann man die Darstellungsmatrix A_{1} von Q_{1} mit Hilfe des Sylvesterschen Trägheitssatzes auf die Einheitsmatrix E transformieren: E = S^{∗}A_{1}S. Wählt man nun zu S^{∗}A_{2}S die Transformations T gemäß Satz 3.4.9, so erhält man für Q_{1} und Q_{2} , wenn man mit J die Jordannormalform von S^{∗}A_{2}S bezeichnet, simultan folgende vereinfachte Darstellung:

Ã_{1} := T^{∗}S^{∗}A_{1}ST = T^{∗}T = I_{t_{1}...t_{r}}
Ã_{2} := T^{∗}S^{∗}A_{2}ST = T^{∗}T (T^{−1}S^{∗}A_{2}ST) = I_{t_{1}...t_{r}}J  (3.10)

Das soll heißen, daß man nach der Koordinatentransformation die Darstellungen Q_{i} = V (x^{∗}Ã_{i}x) für i = 1, 2 erhält. Die Anzahl s ≤ t_{1} + … + t_{r} = 5 der Eigenwerte der Matrix S^{∗}A_{2}S bzw. J entspricht der Anzahl der Kegel des linearen Büschels L (gemäß (3.6)). Die Eigenräume entsprechen den Spitzen dieser Kegel, die daher paarweise disjunkt sind. Gehören zu einem Eigenwert zwei ‘Jordankästen’ in J also zwei der Zahlen t_{1}, … t_{r} so bestimmt dieser einen Kegel zweiter Art aus L. Ein Eigenwert, der zu drei Jordankästen von J gehört, bestimmt ein reduzibles Element von L.

Satz 3.4.10. Ist die Fläche Φ irreduzibel und von viertem Grad, dann besitzt keiner der Eigenwerte von S^{∗}A_{2}S eine geometrische Vielfachheit von mehr als zwei.

Beweis. Wie bereits bemerkt besitzt das Büschel L im Fall, daß ein Eigenwert mit größerer geometrischer Vielfachheit als zwei existiert, ein reduzibles Element, das sich aus ein oder zwei Hyperebenen zusammensetzt. Diese schneiden Q_{1} (o.B.d.A. singularitätenfrei) in ein oder zwei quadratischen Flächen, aus denen somit Φ besteht. Daher ist Φ in diesem Fall reduzibel oder von zweitem Grad.

Nun kann man die Flächen Φ durch die sogenannten Segre–Symbole klassifizieren: Durch [t_{1} … t_{r}] werden die Flächen bezeichnet, für die sich Q_{1} und Q_{2} simultan auf die Normalformen Q_{1} = V (x^{∗}I_{t_{1}...t_{r}}x) und Q_{2} = V (x^{∗}I_{t_{1}...t_{r}}Jx) transformieren lassen. Gehören zwei Jordankästen (bzw. die entsprechenden Zahlen t_{i} ∈ {t_{1}, … t_{r}}) zum selben Eigenwert, so werden diese beiden Zahlen in Klammern gesetzt, etwa: [(t_{1}t_{2})t_{3}t_{4}]. Damit lassen sich folgende siebzehn Typen von Flächen Φ unterscheiden:

[11111], [(11)111], [(11)(11)1], [2111], [(21)11], [2(11)1]
[311], [(31)1], [3(11)], [41], [(41)], [5], [221], [(22)1]
[2(21)], [32], [(32)].

Nach dem zuvor Gesagten gibt die Anzahl der nicht in Klammern stehenden Ziffern die Zahl der Kegel erster Art im Büschel L an, während die Zahl der Klammerausdrücke im Segre–Symbol derjenigen der Kegel zweiter Art in L entspricht. Als Beispiel werden die Gleichungen einer Fläche vom Typ [32] angegeben:

Ã_{1} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ); Ã_{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 & a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 \end{matrix} )

x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} + 2x_{3}x_{4} = 0 ∧ a(x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2}) + 2bx_{3}x_{4} + 2x_{0}x_{1} + x_{3}^{2} = 0.

Darin sind a, b ∈ k, a ≠ b die Eigenwerte der Matrix S^{∗}AS. Die wohl bekannteste Fläche vierter Ordnung mit einer einparametrigen algebraischen Kegelschnittfamilie, nämlich der Torus, besitzt das Segre–Symbol [(11)(11)1]. Als nächstes untersuchen wir die Frage, wann Φ eine Regelfläche ist.

Satz 3.4.11. Die Fläche Φ ist genau dann eine Regelfläche, wenn Φ vom Typ [(22)1] oder [(32)] ist.

Beweis. ′ ⟹′ Zunächst ist Φ kein Kegel. Denn betrachtet man andernfalls als Projektionszentrum ein y ∉ Φ, welches auf keinem der Kegel aus L liegt, so enthält die Fläche π_{y}(Φ) als Doppelpunktskurve einen Kegelschnitt Y (Korollar 3.4.3), was aber unmöglich ist, da andererseits π_{y}(Φ) zufolge Satz 3.4.5 ein irreduzibler Kegel vierter Ordnung sein muß (ein solcher enthält überhaupt keine Kegelschnitte). Wir zeigen nun, daß im Fall des Typs [11111] keine Regelfläche vorliegt. Dazu betrachten wir einem der fünf Kegel aus L, etwa Q. Für Q erhält man im Koordinatensystem der Normaldarstellung von Φ die Gleichung

(a_{1} − a_{0})x_{1}^{2} + (a_{2} − a_{0})x_{2}^{2} + (a_{3} − a_{0})x_{3}^{2} + (a_{4} − a_{0})x_{4}^{2} = 0,

worin a_{0}, …, a_{4} die fünf verschiedenen Eigenwerte sind, während Q_{1} die Gleichung x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2} = 0 besitzt. Die Ebenen E_{1} = V ({x_{1}−αx_{2}, x_{3}−βx_{4}}) und E_{2} = V (\{x_{1} − αx_{2}, x_{3} + βx_{4}\}) mit α := i\sqrt{\frac{a_{2}−a_{0}}{a_{1}−a_{0}}} und β := i\sqrt{\frac{a_{4}−a_{0}}{a_{3}−a_{0}}} liegen auf Q und gehören je einem der beiden linearen Systemen von Ebenen auf Q an, da sie sich in der Geraden V ({x_{1} − αx_{2}, x_{3} − βx_{4}, x_{3} + βx_{4}}) schneiden. Substituiert man nun die Gleichungen von E_{i} (i = 1, 2) in diejenige von Q_{1} , so ergibt sich mit der Quadrik Q_{3} := V (x_{0}^{2} + (1 − \frac{a_{2}−a_{0}}{a_{1}−a_{0}} )x_{2}^{2} + (1 − \frac{a_{4}−a_{0}}{a_{3}−a_{0}} )x_{4}^{2}) die Identität E_{i} ∩ Q_{1} = E_{i} ∩ Q_{3} . Nun sieht man aber leicht, daß Q_{3} ein irreduzibler Kegel ist, dessen Spitze s := V ({x_{0}, x_{2}, x_{4}}) offensichtlich windschief zu den Ebenen E_{1} und E_{2} ist. Daher ist für i = 1, 2 der Schnitt Q_{1} ∩ E_{i} singularitätenfrei. Die Ebenen E_{1} und E_{2} spannen eine Hyperebene V auf. Man kann in V einen Projektionspunkt y ∉ Φ so wählen, daß die beiden Kegelschnitte E_{1} ∩ Φ und E_{2} ∩ Φ auf zwei verschiedene Kegelschnitte der Bildfläche F = π_{y}(Φ) abgebildet werden, die dann beide in derselben Ebene H ∩ V (H ist die Projektionshyperebene) liegen. Nach Korollar 2.5.2 kann dann F keine Regelfläche sein und nach Satz 3.4.6 auch nicht Φ. Nun werden alle von [11111] verschiedenen Typen behandelt. Dazu wird vorab bemerkt, daß die Spitze eines Kegels erster Art genau dann auf Φ liegt, wenn die zu ihm gehörige Untermatrix I_{t_{i}} von Ã_{1} = I_{t_{1}...t_{r}} (siehe (3.10)) in der linken oberen Ecke eine Null besitzt, also genau dann, wenn die dem Kegel entsprechende Zahl t_{i} größer als eins ist. Denn die Spitze ist gerade derjenige Einheitsvektor, der an der k -ten Stelle eine Eins hat, wobei k die Zeilen- und Spaltenzahl der linken oberen Ecke von I_{t_{i}} in I_{t_{1}...t_{r}} ist. Analog liegt die Spitze eines Kegels zweiter Art genau dann auf Φ, wenn die zu ihm gehörigen Zahlen t_{i} und t_{j} beide größer als eins sind. Nun gibt es stets einen Kegel Q in L, so daß seine Spitze s die Fläche Φ schneidet oder sogar auf ihr liegt. Denn falls nicht alle Zahlen t_{i} eins sind, folgt dies aus obiger Bemerkung. In den beiden übrigen Fällen gibt es einen Kegel zweiter Art in L, dessen Spitze bestimmt Q_{1} , also auch Φ, schneidet. Wir zeigen nun, daß im Fall einer Regelfläche Φ sogar ein Kegel zweiter Art, dessen Spitze s in Φ enthalten ist, in L existieren muß, woraus mit obiger Bemerkung sofort die Zugehörigkeit von Φ zu einem der beiden Typen [(22)1] oder [(32)] folgt. Wir nehmen das Gegenteil an. Für den Kegel mit s∩Φ ≠ ∅ ist dann s ∩ Φ nulldimensional. Da Φ selbst kein Kegel ist, gehen nur endlich viele Geraden durch die endlich vielen Punkte aus s ∩ Φ. Nun schneidet aber jede nicht durch s ∩ Φ gehende Gerade g ⊂ Φ eine dieser endlich vielen Geraden, denn für x ∈ s ∩ Φ schneidet die Verbindungsebene E von x und g die Fläche Φ in g sowie einer weiteren Gerade durch x (beachte E ⊂ Q und Satz 3.4.4). Daher muß es ein x ∈ s ∩ Φ und eine Gerade h ⊂ Φ, welche x enthält und von unendlich vielen auf Φ gelegenen Geraden geschnitten wird, geben. Nach Satz 3.4.4 gibt es dann aber einen Kegel in L, der unendlich viele Ebenen durch h enthält und dies kann nur ein Kegel zweiter Art mit Spitze h ⊂ Φ sein, dessen Existenz wir in unserer Annahme aber gerade verneint hatten. ′ ⟸′ Diese Richtung der Aussage folgt sofort, wenn man für den Kegel zweiter Art aus dem Büschel L, dessen Doppelpunktsgerade (Spitze s) notwendigerweise auf Φ liegt, die Schnitte seiner Ebenen, welche s stets enthalten, mit Φ betrachtet.

3.5 Quartiken mit einem Doppelkegelschnitt

Mit Hilfe der Sätze des letzten Paragraphen ist es nun möglich, Dimension und Zahl der irreduziblen Komponenten der Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} für eine Quartik der Typen (b) und (c) (gemäß Paragraph 3.2), deren singulärer Ort also einen Kegelschnitt C̄_{2} enthält, zu bestimmen.

Wählt man das Koordinatensystem im IP^{3} so, daß die Grundpunkte A_{0} und A_{2} auf C̄_{2} liegen, A_{1} der Pol der Verbindungsgerade von A_{0} und A_{2} bezüglich C̄_{2} ist und sich A_{3} außerhalb der Trägerebene von C̄_{2} befindet, so erhält man bei geeigneter Normierung des Koordinatensystems C̄_{2} = V ({x_{3}, x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2}}). Darüberhinaus gilt sogar I(C̄_{2}) = (x_{3}, x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2}). Denn für f ∈ I(C̄_{2}) muß f(x_{0}, x_{1}, x_{2}, 0) von x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} geteilt werden (homogene Ideale irreduzibler ebener Kurven sind stets Hauptideale in k[x_{0}, x_{1}, x_{2}] , die von irreduziblen Polynomen erzeugt werden). Also erhält man f = x_{3}u + (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2})v mit u, v ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] . Für das irreduzible Polynom f, dessen Nullstellenmenge F ist, ergibt sich wegen C̄_{2} ⊂ F zunächst der Ansatz f = (x_{1}^{2} +2x_{0}x_{2})v_{2} +x_{3}v_{3} mit homogenen v_{2}, v_{3} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] der respektiven Grade zwei und drei. Betrachtet man die Ableitungen von f nach x_{0}, x_{1} sowie x_{2} , so folgt wegen C̄_{2} ⊂ Sing F weiterhin v_{2} ∈ I(C̄_{2}) also v_{2} = x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} + x_{3}v_{1} und daher f = (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2})^{2} + x_{3}u_{3} mit einem u_{3} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] von drittem Grad. Die Betrachtung der Ableitung von f nach x_{3} lehrt nun u_{3} ∈ I(C̄_{2}). Daher gibt es u_{1}, u_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] mit f = (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2})^{2} − 4x_{3}((x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2})u_{1} + x_{3}u_{2}) und man erhält

f = (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} − 2x_{3}u_{1})^{2} − 4x_{3}^{2}(u_{2} + u_{1}^{2}).  (3.11)

Nun folgt aus Satz 3.4.1, daß es eine Fläche Φ = Q_{1}∩Q_{2} als Durchschnitt zweier Quadriken des IP^{4} und ein y ∈ IP^{4}\Φ gibt, so daß die Projektion π_{y}(Φ) von Φ mit Projektionszentrum y auf eine y nicht enthaltende Hyperebene, welche man mit IP^{3} identifizieren kann, gerade F ergibt. Die Quadrik Q aus dem von Q_{1} und Q_{2} aufgespannten linearen Büschel L, die den Punkt y enthält ist Korollar 3.4.3 zufolge wegen Y = C̄_{2} singularitätenfrei. Daher kann man auf die Fläche Φ die Sätze 3.4.9 bis 3.4.11 anwenden. Zusammen mit den Sätzen 3.4.4 bis 3.4.7 erkennt man, daß ein von C̄_{2} verschiedener Kegelschnitt C_{2} auf F einem von höchstens zehn linearen Systemen von Kurven auf F angehört, welches auf einer nichtleeren offenen Teilmenge von Parameterwerten Kegelschnitte enthält (da C_{1,2}(F)^{irr} offen in C_{1,2}(F)). Die Trägerebenen dieser Kegelschnitte durchlaufen entweder ein lineares Büschel von Ebenen, oder hüllen einen Kummerschen Kegel von F ein (Satz 3.4.7). Weiterhin ist F genau dann eine Regelfläche, wenn dies für Φ zutrifft (Satz 3.4.6). In diesem Fall ist Φ durch die Segre–Symbole [(22)1] oder [(32)] charakterisiert (Satz 3.4.11) und Sing F enthält neben C̄_{2} eine Gerade ḡ, welche das Bild der in Φ enthaltenen Spitze des Kegels zweiter Art aus L ist. Nimmt man nämlich letzteren o.B.d.A. als Q_{2} = V (f_{2}) an, so erkennt man bei einer Betrachtung der Ableitungen von g in Gleichung (3.9), daß alle Punkte aus Sing Q_{2} auf singuläre Punkte von F = V (g(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0)) abgebildet werden. Daher gehört jede Regelfläche mit einem Doppelkegelschnitt C̄_{2} automatisch zum Typ (c). Umgekehrt erkennt man, daß jede Fläche vom Typ (c) eine Regelfläche ist. Dazu betrachtet man die Schnitte von F mit Ebenen durch die Doppelgerade ḡ von F und beachte, daß die Schnittkurven stets eine Singularität außerhalb von ḡ besitzen, nämlich den Schnittpunkt mit C̄_{2} . Da somit die Flächen vom Typ (b) keine Regelflächen sind, enthalten die gemäß Satz 3.4.7 existierenden linearen Kurvensysteme auf F stets für eine nichtleere offene Teilmenge der Parametervarietät Kegelschnitte. Diese liefern also irreduzible algebraische Familien von Kegelschnitten auf F. Damit erhält man:

Satz 3.5.1. Die Quartiken F vom Typ (b) sind keine Regelflächen. Die Chow– Varietäten C_{1,2}(F)^{irr} zerfallen in einen isolierten Punkt, welchem der Doppelkegelschnitt C̄_{2} entspricht, und ein bis acht oder zehn eindimensionale irreduzible Komponenten, die entsprechend viele einparametrige algebraische Familien von Kegelschnitten auf F liefern. Die Varietäten T^{∨} ⊂ IP^{3} der Trägerebenen zu diesen Familien (gemäß Satz 2.6.3) sind entweder offene Teilmengen von Geraden oder von Kegelschnitten des IP^{3}^{∨}. In ersterem Fall schneiden die Trägerebenen Kegelschnittpaare derselben Familie aus F aus, während sie im zweiten Fall einen quadratischen Kegel (Kummerschen Kegel) des IP^{3} einhüllen und aus F je zwei Kegelschnitte, welche zu zwei verschiedenen Familien gehören, ausschneiden.

Die Quartiken vom Typ (b) lassen sich unter dem Gesichtspunkt der Kegelschnittfamilien in folgende zehn Typen einteilen:

(b1) 1 0  [(41)]
(b2) 2 1  [5]
(b3) 3 1 [(31)1], [3(11)], [2(21)]
(b4) 4 1  [1(11)(11)]
(b5) 4 2  [41], [32]
(b6) 5 2  [(21)11], [2(11)1]
(b7) 6 3  [311], [221]
(b8) 7 3  [(11)111]
(b9) 8 4  [2111]
(b10) 10 5  [11111]

Tabelle 1 Erste Spalte: Typ-Bezeichnung Zweite Spalte: Anzahl der Kegelschnittfamilien Dritte Spalte: Anzahl der Kummerschen Kegel Vierte Spalte: Segre–Symbol der zugehörigen Flächen Φ

Es muß darauf hingewiesen werden, daß diese Unterteilung der Quartiken vom Typ (b) nur sehr grob ist. Etwas detaillierter wird anhand der Charakteristika der Singularitäten dieser Flächen in den entsprechenden Tabellen in [18, S.440-444] oder [12, S.82-85] vorgegangen.

Satz 3.5.2. Die Quartiken F vom Typ (c) sind stests Regelflächen. Sie können in zwei Untertypen (c1) und (c2) unterschieden werden. Die Flächen des ersten Typs enthalten nur den einen Kegelschnitt C̄_{2} , während für die zum zweiten Typen gehörigen die Chow–Varität C_{1,2}(F)^{irr} neben dem C̄_{2} entsprechenden Punkt genau eine irreduzible Komponente der Dimension eins besitzt. Die Trägerebenen der Kegelschnitte dieser Familie sind Tangentialebenen eines Kummerschen Kegels.

Beweis. Die Quartiken F sind Regelflächen, da alle ebenen Schnitte mit Ebenen aus ḡ^{∨} (ḡ = Doppelgerade von F) voll in Geraden zerfallen (s.o). Die Flächen vom Typ (c1) sind genau diejenigen, für die Φ vom Segre–Typ [(32)] ist. Man sieht sofort, daß Φ keine Kegelschnitte besitzt, wenn man Satz 3.4.4 und die Tatsache beachtet, daß alle Ebenen des einzigen Kegels aus L, welcher von zweiter Art ist und dessen Spitze in Φ und all diesen Ebenen enthalten ist, nur Geraden aus Φ ausschneiden. Nach Satz 3.4.6 enthält F nur den einen Kegelschnitt C̄_{2} = Y (Korollar 3.4.3). Die Flächen vom Typ (c2) sind diejenigen, für die Φ das Segre–Symbol [(22)1] besitzt. Auch hier schneiden die Ebenen des Kegels zweiter Art aus L nur Geraden von Φ aus. Wir zeigen nun, daß genau eines der beiden linearen Systemen von Ebenen des Kegels erster Art aus L Kegelschnitte von Φ liefert, woraus dann mit Hilfe der Sätze 3.4.4 bis 3.4.7 die Behauptung folgt. Sei nun Q_{1} der Kegel erster Art aus L und Q_{2} derjenige zweiter Art mit den Spitzen s_{1} und s_{2} . Es gilt s_{1} ∉ s_{2} (siehe Abhandlung im Anschluß an Satz 3.4.9) und s_{2} ⊂ Φ ⊂ Q_{1} . Sei E ⊂ Q_{1} die Verbindungsebene von s_{1} und s_{2} . Alle Ebenen, die mit E im gleichen System von Ebenen auf Q_{1} liegen, schneiden E in s_{1} also schneiden sie s_{2} nicht. Da aber alle Geraden von Q_{2} die Spitze s_{2} schneiden, liefern die Schnitte dieser Ebenen mit Φ sicher Kegelschnitte (mit Ausnahme von E selbst). Denn würden sie in Geraden zerfallen, so müßten dies ja Geraden von Q_{2} sein. Die Ebenen des anderen Systems aber schneiden s_{2} stets, da sie E in Geraden schneiden, und damit Φ in Kurven mit einer Singularität. Diese können aber keine Kegelschnitte sein.

3.6 Die Steinersche Römerfläche und ihre Entartungstypen

Bevor die Quartiken vom Typ (d) behandelt werden, betrachten wir den Typ (e). Der folgende Satz zeigt, daß hier alle Flächen zueinander projektiv äquivalent sind. Es handelt sich um die sogenannte Römerfläche von Steiner.

Satz 3.6.1. Sei F eine (von einem Kegel verschiedene) Quartik mit drei kopunktalen aber nicht koplanaren Doppelgeraden ḡ_{1}, ḡ_{2}, ḡ_{3} . Dann läßt sich die Gleichung von F auf die Form

f = x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{3}^{2} + x_{2}^{2}x_{3}^{2} − 2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3} = 0  (3.12)

transformieren.

Beweis. Mit A_{0}, …, A_{3} bezeichnen wir wieder die Grundpunkte des Koordinatensystems. Zunächst wählt man A_{0} = ḡ_{1} ∩ ḡ_{2} ∩ ḡ_{3} und A_{i} ∈ ḡ_{i}\{A_{0}} für i = 1, 2, 3. Nun gilt für die homogenen Ideale der drei Geradenpaare I(ḡ_{1} ∪ ḡ_{2}) = (x_{3}, x_{1}x_{2}), I(ḡ_{1} ∪ ḡ_{3}) = (x_{2}, x_{1}x_{3}) und I(ḡ_{2} ∪ ḡ_{3}) = (x_{1}, x_{2}x_{3}) (vgl. die Basisdarstellung von I(C̄_{2}) im vorigen Paragraphen). Analog zur Begründung von Gleichung (3.11) (mit I(ḡ_{2} ∪ ḡ_{3}) anstelle von I(C̄_{2})) erhält man zunächst als Gleichung von F

f = x_{1}^{2}u_{2} + x_{1}x_{2}x_{3}u_{1} + cx_{2}^{2}x_{3}^{2} = 0

mit homogenen u_{1}, u_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] vom Grad eins bzw. zwei und c ∈ k. Die Wahl der Koordinatengrundpunkte bedingt u_{2}(x_{0}, x_{1}, 0, x_{3}) = bx_{3}^{2} (wegen F ∩V (x_{2}) = ḡ_{1}∪ḡ_{3} ) und u_{2}(x_{0}, x_{1}, x_{2}, 0) = ax_{2}^{2} (wegen F ∩V (x_{3}) = ḡ_{1}∪ḡ_{2} ) mit a, b ∈ k also u_{2} = ax_{2}^{2} + dx_{2}x_{3} + bx_{3}^{2} . Deswegen hat f tatsächlich die Gestalt

f = ax_{1}^{2}x_{2}^{2} + bx_{1}^{2}x_{3}^{2} + cx_{2}^{2}x_{3}^{2} + x_{1}x_{2}x_{3}(αx_{0} + βx_{1} + γx_{2} + δx_{3}).

Da F kein Kegel ist, muß α ≠ 0 sein und man kann A_{1}, A_{2}, A_{3} längs der Geraden ḡ_{1}, ḡ_{2}, ḡ_{3} in die Ebene E := V (αx_{0} + βx_{1} + γx_{2} + δx_{3}) verlegen. Nach dieser Transformation hat F die Gleichung

f = ax_{1}^{2}x_{2}^{2} + bx_{1}^{2}x_{3}^{2} + cx_{2}^{2}x_{3}^{2} + dx_{0}x_{1}x_{2}x_{3} = 0.

Nun soll f irreduzibel sein und daher ist notwendigerweise a ≠ 0, b ≠ 0 und c ≠ 0. Sind dann λ, μ, ν vierte Wurzeln von a, b und c, so erhält man nach Ausführung der Transformation x′_{0} = −\frac{d}{2λμν} x_{0}; x′_{1} = \frac{λμ}{ν}x_{1}; x′_{2} = \frac{λν}{μ} x_{2}; x′_{3} = \frac{μν}{λ} x_{3} die gewünschte Gleichung (3.12)

Die Irreduzibilität des Polynoms f aus Gleichung (3.12) folgt daraus, daß f als Polynom in x_{0} über dem Ring k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] linear ist. Nun sind x_{1}x_{2}x_{3} und x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} zueinander teilerfremd, so daß in einer Darstellung f = f_{1}f_{2} f_{1} ∈ k oder f_{2} ∈ k folgt. Also ist f irreduzibel.

Satz 3.6.2. Für die Römerfläche F ist die Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} irreduzibel und zweidimensional. Die auf F gelegenen Kegelschnitte gehören zu einem zweidimensionalen linearen System von Kurven, unter denen auch die drei Doppelgeraden von F vorkommen, welche die einzigen Geraden auf F sind.

Beweis. Wir fangen mit der letzten Behauptung an. Die nach Satz 3.4.1 zu F existierende Fläche Φ ⊂ IP^{4} erhält man als Schnitt der beiden Quadriken Q_{1} und Q_{2} mit den Gleichungen f_{1} = 2x_{1}x_{2} + 2x_{3}x_{4} = 0 und f_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{4}^{2} + 2x_{0}x_{4} = 0 (verwende Gleichung (3.9) mit y = (0, 0, 0, 0, 1)). Daraus berechnet man, daß alle Elemente des von Q_{1} und Q_{2} aufgespannten linearen Büschels L Kegel sind, weshalb nach den Sätzen 3.4.6 und 3.4.8 die drei Doppelgeraden die einzigen Geraden von F sind (Φ enthält nur eine Gerade). Durch die Polynome ax_{1}x_{2} + bx_{1}x_{3} + cx_{2}x_{3} mit a, b, c ∈ k ist das lineare Netz N von quadratischen Kegeln mit Spitze A_{0} (zweidimensionaler linearer Unterraum von IP^{ν_{3,2}} , dessen Punkte Divisoren zweiten Grades des IP^{3} entsprechen) gegeben, dessen sämtliche Elemente durch die drei Doppelgeraden von F gehen. Sei {C_{n} | n ∈ N} das hierdurch definierte lineare System von Kurven auf F, ohne die festen Bestandteile ḡ_{1}, ḡ_{2} und ḡ_{3} (siehe Paragraph 2.3). Nach Bemerkung 2.1.6 sind die Kurven C_{n} von höchstens zweitem Grad (ḡ_{1}, ḡ_{2} und ḡ_{3} zählen im Schnitt doppelt). Nach der schon bewiesenen letzten Behauptung des Satzes kann es sich bei diesen nur um Kegelschnitte oder um eine aus ein oder zwei der Geraden ḡ_{1}, ḡ_{2}, ḡ_{3} zusammengesetzte Kurve handeln. Andererseits geht jeder auf F gelegene Kegelschnitt C_{2} durch alle drei Doppelgeraden, falls seine Trägerebene E eine solche nicht enthält. Denn E schneidet F notwendigerweise in zwei Kegelschnitten, und diese müssen sich, da sie selbst singularitätenfrei sind, in den (auf E gelegenen) Punkten der drei Doppelgeraden schneiden. Daher kommt auch der quadratische Kegel mit Spitze A_{0} , welcher C_{2} enthält, unter den Kegeln des Netzes vor. Falls die Trägerebene des Kegelschnittes eine der Doppelgeraden enthält, kommt das Paar von Ebenen, dessen eines Element die Trägerebene, das andere hingegen die Verbindungsebene der beiden anderen Doppelgeraden ist, unter den Elementen des Netzes vor. Daher gehören alle Kegelschnitte auf F zum linearen System {C_{n} | n ∈ N}. Die Behauptung des Satzes folgt nun aus einer Betrachtung der Abbildung δ : N → C_{1,2}(F) aus Satz 2.2.2. Denn ein Kegelschnitt auf F wird von genau einem Kegel aus N ausgeschnitten, so daß δ einelementige Fasern besitzt. Nach Satz 1.2.2 ist δ(N) zweidimensional und nach Satz 1.2.1 abgeschlossen und irreduzibel. Nun gilt ∅ ≠ C_{1,2}(F)^{irr} ⊆ δ(N), und da C_{1,2}(F)^{irr} offen in C_{1,2}(F) also auch in δ(N) ist, folgt, daß C_{1,2}(F)^{irr} dicht in δ(N), also ebenfalls irreduzibel und zweidimensional ist (alle offenen Teilmengen einer irreduziblen Varietät sind dicht).

Satz 3.6.3. Die zu einer Römerfläche gemäß Satz 3.4.1 existierende Fläche Φ ⊂ IP^{4} ist bis auf projektive Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Beweis. Zunächst müssen alle Quadriken des zu Φ gehörigen Büschels L Kegel sein, da andernfall den Sätzen 3.4.4, 3.4.6 und 3.4.7 zufolge C_{1,2}(F)^{irr} im Widerspruch zu Satz 3.6.2 nur eindimensional wäre (zu den endlich vielen Kegeln aus L gibt es dann nur endlich viele einparametrige Kegelschnittfamilien). Wegen Satz 3.4.8 besitzt Φ nur eine einzige Gerade, so daß nach Satz 3.4.6 Y (aus Korollar 3.4.3) aus zwei der Doppelgeraden ḡ_{1}, ḡ_{2} und ḡ_{3} bestehen muß. In Gleichung (3.9) ist daher die Form g_{1}(x, y) proportional zu x_{1}, x_{2} oder x_{3} . Da sich bei einer Permutation der Koordinatengrundpunkte A_{1}, A_{2} und A_{3} Gleichung (3.12) nicht ändert, folgt die Behauptung des Satzes aus Bemerkung 3.4.2.

Nun sieht man auch umgekehrt, daß das Bild π_{y}(Φ) einer derartigen Fläche Φ (gemäß Satz 3.4.8) eine Römerfläche von Steiner ist, sofern nur y auf einem Kegel Q_{1} erster Art aus L gewählt wird, der die Verbindungsebene von y mit der einzigen Gerade g auf Φ nicht enthält. Denn die Punkte von g werden auf singuläre Punkte von F abgebildet, also π_{y}(g) ⊂ Sing F . Dazu betrachte man x ∈ g o.B.d.A. als Spitze des Kegels Q_{2} = V (f_{2}) und beachte, daß alle Ableitungen der Form g aus Gleichung (3.9) für x verschwinden (vgl. Begründung von Satz 3.5.1). Nun gilt π_{y}(g) ⊄ Y (Bez. gemäß Korollar 3.4.3), denn andernfalls wäre die Verbindungsgerade von y und g in Q_{1} enthalten. Die Gerade g schneidet die beiden Ebenen von Q_{1} , in denen y liegt, in der Spitze von Q_{1} (diese liegt nach Satz 3.4.8 auf g). Also besitzt F mit π_{y}(g) und den beiden Geraden aus Y nach Korollar 3.4.3 drei kopunktale Doppelgeraden und ist laut Satz 3.6.1 eine Römerfläche, denn mit nur drei Geraden kann F kein Kegel sein.

Dieser Sachverhalt hilft uns, diejenigen Flächen Φ aus Paragraph 3.4 in den Griff zu bekommen, welche nicht durch Segre–Symbole zu charakterisieren sind. Diese sind nun nämlich des Satzes 3.6.3 zufolge alle zueinander projektiv äquivalent. Man kann die im Beweis von Satz 3.6.2 angegebenen Gleichungen von Q_{1} und Q_{2} als Normaldarstellung von Φ verwenden.

Es entsteht nun die Frage ob es neben der Römerfläche weitere Quartiken gibt, die als Projektion dieser Fläche Φ auftreten, und daher ebenso eine zweiparametrige Familie von Kegelschnitten besitzen. Im folgenden wird gezeigt, daß es bis auf projektive Äquivalenz noch genau zwei solche Quartiken gibt. Dabei werden auch deren Gleichungen ermittelt. Zunächst sei dazu bemerkt, daß das Büschel L genau zwei Kegel zweiter Art enthält, deren Gleichungen f_{1} +f_{2} = 0 beziehungsweise f_{1} − f_{2} = 0 sind und die wir mit Q_{3} und Q_{4} bezeichnen. Dabei sind f_{1} = 2x_{1}x_{2} + 2x_{3}x_{4} und f_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{4}^{2} + 2x_{0}x_{4} die Polynome aus dem Beweis von Satz 3.6.2 mit Q_{1} = V (f_{1}) und Q_{2} = V (f_{2}). Sei G die Verbindungsebene des Projektionszentrums y mit der einzigen Gerade g auf Φ. Für das Projektionszentrum y bleiben noch folgende spezielle Lagen zu berücksichtigen:

(i) G ist in Q_{1} enthalten.

(ii) Es ist zwar y nicht aber G in Q_{3} enthalten.

(iii) G ist in Q_{3} enthalten.

Die Beschränkung auf die Quadriken Q_{1} und Q_{3} verletzt nicht die Allgemeinheit der Betrachtung. Die Flächen F = π_{y}(Φ) nach Fall (i) und (ii) besitzen als Doppelpunktskurve ein paar schneidender Geraden, gehören also zum Typ (f) der Einteilung aus Paragraph 3.2, während im Fall (iii) nur eine Doppelgerade vorhanden ist, so daß diese Flächen zum Typ (h) gehören.

Satz 3.6.4. Die Quartiken F = π_{y}(Φ) für die y wie unter (i) oder (ii) gewählt ist, sind projektiv äquivalent zur Quartik mit der Gleichung

x_{1}^{4} + 2x_{0}x_{2}x_{1}^{2} + x_{2}^{2}x_{3}^{2} = 0  (3.13)

Beweis. Behauptung: Zu einer der beiden Doppelgeraden ḡ_{1} und ḡ_{2} von F (o.B.d.A. sei dies ḡ_{1} ) gibt es eine Ebene E die längs dieser die Fläche doppelt berührt, d.h. (E ∩ F)^{div} = 4ḡ_{1} . Beweis der Behauptung im Fall (i): Da g die Spitze von Q_{1} enthält, gibt es eine von G verschiedene Ebene G′ ⊂ Q_{1} , welche g enthält. G und G′ werden von der längs g berührenden Hyperebene aus Q_{1} ausgeschnitten. Nun ist nach Satz 3.4.4 G′ ∩ Φ = g, da g die einzige Gerade auf Φ ist (Satz 3.4.8). Also erfüllt E := π_{y}(G′) die Bedingung der Behauptung wegen π_{y}(G′ ∩ Φ) = ḡ_{1} = π_{y}(g). Beweis der Behauptung im Fall (ii): Die Ebene E := T_{y}Q_{3} ∩ H (H = Projektionshyperebene) schneidet F offenbar nur in der Geraden ḡ_{1} = Y (siehe Korollar 3.4.3), weshalb man sofort fertig ist. Nun wählt man als Koordinatengrundpunkte A_{0} := ḡ_{1} ∩ ḡ_{2}, A_{3} ∈ ḡ_{1}\ḡ_{2} und A_{1} ∈ E\ḡ_{1} . Die Verbindungsebene von A_{1} und ḡ_{2} schneidet F in ḡ_{2} und einem Kegelschnitt C_{2} (ḡ_{1} und ḡ_{2} sind die einzigen Geraden auf F!), der E in A_{0} berührt (nach der Behauptung). Daher kann man o.B.d.A. A_{1} als Pol der Gerade ḡ_{2} bezüglich C_{2} annehmen. Wähle nun A_{2} als den von A_{0} verschiedenen Schnittpunkt zwischen C_{2} und ḡ_{2} . Bei geeigneter Normierung des Koordinatensystems ergibt sich daraus für das homogene Polynom f, dessen Nullstellenmenge F ist, f(x_{0}, 0, x_{2}, x_{3}) = x_{2}^{2}x_{3}^{2} (wegen V (x_{1}) ∩ F = ḡ_{1} ∪ ḡ_{2} ), f(x_{0}, x_{1}, 0, x_{3}) = x_{1}^{4} (wegen V (x_{2}) = E) und f(x_{0}, x_{1}, x_{2}, 0) = λx_{1}^{2}(x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2}) (wegen V (x_{3}) ∩ F = ḡ_{2} ∪ C_{2} ). Folglich erhält man λ = 1 und als Gleichung für F:

f = x_{1}^{4} + 2x_{0}x_{2}x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2}x_{3}(ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} + dx_{3}) + x_{2}^{2}x_{3}^{2} = 0

mit a, b, c, d ∈ k. Für eine Urbildfläche Φ gemäß Satz 3.4.1 von F findet man etwa f_{1} = 2x_{2}x_{3}+2x_{1}x_{4} = 0 und f_{2} = x_{1}^{2}+2x_{0}x_{2}−2x_{4}(ax_{0}+bx_{1}+cx_{2}+dx_{3})+x_{4}^{2} = 0 als Gleichungen (siehe (3.9) mit y = (0, 0, 0, 0, 1)). Die Bedingung, daß f_{2} = 0 die Gleichnung eines Kegels ist, liefert aus der Determinante der Darstellungsmatrix sofort d = 0. Wenn man nun weiterhin ausnützt, daß alle Elemente des von f_{1} und f_{2} aufgespannten linearen Büschels L Kegel darstellen, so liefert die Berechnung der entsprechenden Determinante a = 0. Schließlich führt man die Koordinantentransformation x_{0} = x′_{0}+ \frac{c^{2}}{2} x′_{2}+b(cx′_{1}−x′_{3}), x_{1} = x′_{1}, x_{2} = x′_{2} und x_{3} = x′_{3} −cx′_{1} durch (die gestrichenen sind die neuen Koordinaten!), was unmittelbar in Gleichung (3.13) resultiert (beachte, daß die Transformationsmatrix für alle b, c ∈ k tatsächlich regulär ist).

Satz 3.6.5. Die Quartiken F = π_{y}(Φ) für die y wie unter (iii) gewählt ist, sind projektiv äquivalent zur Quartik mit der Gleichung

f = (x_{1}^{2} + 2x_{2}x_{3})^{2} + x_{2}^{3}x_{0} = 0  (3.14)

Beweis. Sei G die Ebene von Q_{3} , welche die (einzige) Gerade g ⊂ Φ enthält. Wir führen die Projektion für einen Punkt y ∈ G\Φ durch. Die Gleichungen der Quadriken Q_{1} und Q_{2} seien wieder f_{1} = 2x_{1}x_{2} + 2x_{3}x_{4} = 0 und f_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{4}^{2} + 2x_{0}x_{4} = 0 (siehe Beweis von Satz 3.6.2). Die Quadrik Q_{3} besitzt dann die Gleichung f_{1} + f_{2} =: f_{3} = (x_{1} + x_{2})^{2} + 2x_{0}x_{4} + 2x_{3}x_{4} + x_{4}^{2} = 0. Ein beliebiger Punkt y ∈ G\Φ ist durch y = (λ, 1, −1, μ, 0) für λ, μ ∈ k und λ + μ ≠ 0 gegeben. Nun ist f_{3}(y) = 0, f_{1}(y) = −2, g_{3}(x, y) = (λ + μ)x_{4} und g_{1}(x, y) = x_{2} −x_{1} +μx_{4} . Setzt man dies in Gleichung (3.9) ein (und zwar f_{3} für dortiges f_{1} und f_{1} für dortiges f_{2} ), so erhält man für das Polynom g, dessen Nullstellenmenge der Kegel Z an Φ mit Spitze y ist,

g = (−2((x_{1} + x_{2})^{2} + 2x_{0}x_{4} + 2x_{3}x_{4} + x_{4}^{2}) − 2(λ + μ)x_{4}(x_{2} − x_{1} + μx_{4}))^{2}−

−4(λ + μ)^{2}x_{4}^{2}((x_{2} − x_{1} + μx_{4})^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{3}x_{4}).

Wir projizieren nun die Fläche Φ auf die Hyperebene H = V (x_{1}−x_{2}+(\frac{λ−μ}{2})x_{4}) indem wir hierin x_{2} durch x_{1} +(\frac{λ−μ}{2})x_{4} ersetzen. Nach einiger Rechnung erhält man für die Gleichung von F (= Z ∩ H), falls man durch vier dividiert:

f = ((2x_{1} + (\frac{λ − μ}{2})x_{4})^{2} + x_{4}(2x_{0} + 2x_{3} + x_{4}))^{2}+

+(λ + μ)^{2}x_{4}^{3}((\frac{λ − μ}{2})^{2}x_{4} + 2x_{0} − 2x_{3})

Durch die Koordinatentransformation x′_{0} = ((\frac{λ−μ}{2})^{2}x_{4}+2x_{0}−2x_{3})/(λ+μ)^{2}, x′_{1} = 2x_{1} + (\frac{λ−μ}{2})x_{4}, x′_{2} = x_{4} und x′_{3} = x_{0} + x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} gelangt man von dort zu der gewünschten Gleichung (3.14) (wenn man die Striche als Kennzeichnung der neuen Koordinaten wieder entfernt und beachtet, daß die Transformation unabhängig von λ und μ stets bijektiv ist).

Satz 3.6.6. Für die Quartiken F der Gleichungen (3.13) und (3.14) ist die Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} irreduzibel und zweidimensional. Die auf F gelegenen Kegelschnitte gehören zu einem zweidimensionalen linearen System von Kurven, unter denen auch die Doppelgeraden von F vorkommen (im ersten Fall sind dies zwei und im zweiten eine), welche die einzigen Geraden auf F sind.

Beweis. Der Beweis verläuft völlig analog zu dem von Satz 3.6.2. Dabei ist im ersten Fall das durch ax_{1}^{2} + bx_{1}x_{2} + cx_{2}x_{3} und im zweiten Fall das durch a(x_{1}^{2} + 2x_{2}x_{3}) + bx_{1}x_{2} + cx_{2}^{2} für a, b, c ∈ k gegebene lineare Netz von Kegeln (an Stelle des dortigen) zu verwenden.

Die beiden Quartiken mit den Gleichungen (3.13) und (3.14) treten somit als Entartungsfälle der Römerfläche von Steiner auf. Deshalb werden sie auch Römerfläche erster bzw. zweiter Art genannt. In Anlehnung an Satz 3.2.2 führen wir die Typenbezeichnungen (f10) bzw. (h7) ein.

3.7 Quartiken mit zwei schneidenden Doppelgeraden

Analog zur Herleitung von Gleichung (3.11) zu Anfang des Paragraphen 3.5 findet man für die hier zu betrachtenden Quartiken die Gleichungsform:

f = (2x_{0}x_{2} − 2x_{3}u_{1})^{2} − 4x_{3}^{2}v_{2} = 0  (3.15)

mit homogenen Polynomen u_{1}, v_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}] der respektiven Grade eins und zwei, wobei ḡ_{1} = V ({x_{0}, x_{3}}) und ḡ_{2} = V ({x_{2}, x_{3}}) die beiden Doppelgeraden sind. Aus Satz 3.4.1 ergibt sich daher wieder, daß jede der hier betrachteten Quartiken als Projektion einer Schnittfläche Φ = Q_{1} ∩ Q_{2} ⊂ IP^{4} zweier Quadriken gemäß Paragraph 3.4 auftritt. Darüber hinaus können wir in diesem Paragraphen annehmen, daß das von Q_{1} und Q_{2} aufgespannte lineare Büschel L singularitätenfreie Quadriken besitzt, da nach dem letzten Paragraphen andernfalls eine Römerfläche bzw. ihr Entartungstyp (f10) vorliegt. Daher können wir die Fläche Φ durch die Segre–Symbole klassifizieren und die Sätze 3.4.9 bis 3.4.11 anwenden. Korollar 3.4.3 zufolge muß das Projektionszentrum hier allerdings auf einem der höchstens fünf Kegel des linearen Büschels L angenommen werden. Wir wollen stets die in Satz 3.4.1 konstruierte Fläche Φ = V (2x_{0}x_{2} + 2x_{3}x_{4}) ∩ V (x_{4}^{2} − v_{2}) = Q_{1} ∩ Q_{2} betrachten, so daß mit Korollar 3.4.3 Y = ḡ_{1} ∪ ḡ_{2} folgt. Daher können wir y stets auf einem Kegel erster Art aus L annehmen. Auf welchem der Kegel y liegen soll, wird durch einen Querstrich über der betreffenden Ziffer oder Klammer des Segre–Symbols von Φ angedeutet. Wie schon im Paragraph 3.5 ist besonderes Augenmerk auf die Regelflächen Φ zu richten. Laut Satz 3.4.11 ist der Fall [(22)¯1] zu betrachten. Sei dazu Q_{1} der Kegel erster Art aus L und Q_{2} derjenige zweiter Art. Die Verbindungsebene der beiden Spitzen s_{1} und s_{2} dieser Kegel sei E. Sie ist wegen s_{2} ⊂ Φ ⊂ Q_{1} in Q_{1} enthalten. Für die Lage von y sind die Fälle y ∈ E und y ∉ E zu unterscheiden. Im ersten Fall folgt π_{y}(s_{2}) ⊂ Y , so daß F nur die beiden Doppelgeraden ḡ_{1} und ḡ_{2} mit ḡ_{1} ∪ ḡ_{2} = Y besitzt. Sei o.B.d.A. ḡ_{1} = π_{y}(s_{2}). Wie im Beweis des Satzes 3.5.2 sieht man, daß die Ebenen des linearen Büschels von Q_{1} , welchem E angehört, Φ in Kegelschnitten schneiden und auf Elemente des Ebenenbüschels ḡ_{2}^{∨} abgebildet werden (Satz 3.4.7). Die Ebenen des anderen linearen Büschels und die im Kegel Q_{2} enthaltenen schneiden Φ jedoch in Geraden und werden auf Ebenen des Büschels ḡ_{1}^{∨} abgebildet. Die Sätze 3.4.4 bis 3.4.7 sowie 3.4.11 liefern daraus unter Berücksichtigung der Tatsache, daß im Fall y ∉ E drei Doppelgeraden auf F vorhanden sind, den

Satz 3.7.1. Unter den Quartiken F vom Typ (f) (nach Paragraph 3.2) gibt es einen Typ von Regelflächen, den wir mit (f1) bezeichnen und der die Segre– Charakteristik [(22)¯1] besitzt. Die Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} ist für diese irreduzibel und eindimensional. Insbesondere gehören alle Kegelschnitte von F dem linearen System ohne feste Bestandteile an, das von einem der beiden Ebenenbüschel ḡ_{1}^{∨} oder ḡ_{2}^{∨} induziert wird.

Nun betrachten wir den Fall y ∉ E, in dem, wie schon oben bemerkt, wegen π_{y}(s_{2}) ⊈ Y drei Doppelgeraden auf F existieren. Daß π_{y}(s_{2}) eine Doppelgerade von F ist, sieht man wie in der Begründung von Satz 3.5.1. Den Sätze 3.2.2 und 3.6.3 zufolge kann F nur noch zum Typ (d) gehören. Seien nun ḡ_{1} und ḡ_{3} die zueinander windschiefen Doppelgeraden einer Quartik F vom Typ (d). Alle Ebenen der Büschel ḡ_{1}^{∨} und ḡ_{2}^{∨} schneiden F in Geraden, da im Schnitt stets eine Singularität außerhalb der Trägergeraden dieser Büschel vorhanden ist. Daher sind Flächen vom Typ (d) auch stets Regelflächen und man erhält in Analogie zum vorherigen Satz den

Satz 3.7.2. Alle Quartiken F vom Typ (d) sind Regelflächen mit der Segre– Charakteristik [(22)¯1]. Außerdem ist für diese die Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} irreduzibel und eindimensional. Alle Kegelschnitte von F gehören dem linearen System ohne feste Bestandteile an, das vom Ebenenbüschel ḡ_{2}^{∨} induziert wird, wobei ḡ_{2} diejenige Doppelgerade von F ist, welche die beiden anderen schneidet.

Für die übrigbleibenden Quartiken mit zwei sich schneidenden Doppelgeraden erhält man durch Anwendung der Sätze aus Paragraph 3.4 schließlich den

Satz 3.7.3. Für die Quartiken F vom Typ (f), die weder Regelflächen noch Römerflächen zweiter Art sind, zerfallen die Chow–Varietäten C_{1,2}(F)^{irr} in zwei bis acht oder zehn eindimensionale irreduzible Komponenten, welche entsprechend viele einparametrige algebraische Familien von Kegelschnitten auf F liefern. Die Varietäten T^{∨} ⊂ IP^{3}^{∨} der Trägerebenen zu diesen Familien (gemäß Satz 2.6.3) sind entweder offene Teilmengen von Geraden oder von Kegelschnitten des IP^{3}^{∨}. In ersterem Fall schneiden die Trägerebenen Kegelschnittpaare derselben Familie aus F aus, (wenn man von den Fällen T^{∨} ⊆ ḡ_{1}^{∨} und T^{∨} ⊆ g_{2}^{∨} absieht, in denen die Trägerebenen nur einen Kegelschnitt von F enthalten) während sie im zweiten Fall einen quadratischen Kegel (Kummerschen Kegel) des IP^{3} einhüllen und aus F je zwei Kegelschnitte zweier verschiedener Familien ausschneiden.

Wir teilen nun diese Quartiken auf ähnliche Weise wie im Anschluß an Satz 3.5.1 ein wobei die Zahl der algebraischen Familien von Kegelschnitten auf F das einzige Unterscheidungskriterium ist (vgl. Tabelle 1).

(f2) 2 0  [¯5]
(f3) 3 0 [(31)¯1], [¯3(11)], [¯2(21)], [¯1(11)(11)]
(f4) 4 1  [¯41], [4¯1], [¯32], [3¯2]
(f5) 5 1  [(21)¯11], [¯2(11)1], [2(11)¯1]
(f6) 6 2  [¯311], [3¯11], [¯221], [22¯1]
(f7) 7 2  [(11)¯111]
(f8) 8 3  [¯2111], [2¯111]
(f9) 10 4  [¯11111]

Tabelle 2 Erste Spalte: Typ-Bezeichnung Zweite Spalte: Anzahl der Kegelschnittfamilien Dritte Spalte: Anzahl der Kummerschen Kegel Vierte Spalte: Segre–Symbol der zugehörigen Flächen Φ

3.8 Quartiken mit zwei windschiefen Doppelgeraden

Da die Quartiken vom Typ (d) bereits im vorigen Paragraphen abgehandelt wurden, bleiben hier nur die Flächen vom Typ (g) zu betrachten, die natürlich ebenso Regelflächen sind. Die beiden windschiefen Doppelgeraden bezeichnen wir mit ḡ_{1} und ḡ_{2} . Die Kürze dieses Paragraphen verdankt man

Satz 3.8.1. Eine Quartik F vom Typ (g) (nach Paragraph 3.2) enthält überhaupt keinen Kegelschnitt, also C_{1,2}(F)^{irr} = ∅.

Beweis. Zunächst besitzt F keine zu ḡ_{1} und ḡ_{2} windschiefe Gerade, denn nimmt man als solche etwa h an, so findet man in jeder Ebene E_{0}^{∨} ∈ h^{∨} als Verbindungsgerade der Punkte E_{0} ∩ ḡ_{1} und E_{0} ∩ ḡ_{2} eine Gerade der Quadrik aller Treffgeraden von ḡ_{1}, ḡ_{2} und h. Da diese Geraden in F enthalten sind (sie schneiden mit Multiplizität gezählt in mindestens fünf Punkten), muß dies auch für diese Quadrik gelten. Dies widerspricht aber der Irreduzibilität und dem Grad von F. Als Verschärfung dieser Aussage erhält man nun, daß jede Gerade h auf F sogar beide Doppelgeraden schneidet, denn unter der Voraussetzung h ∩ ḡ_{1} ≠ ∅ (o.B.d.A.) sieht man bei der Betrachtung des Schnitts von F mit der Verbindungsebene E_{1} von h und ḡ_{1} , daß auch h ∩ ḡ_{2} ≠ ∅ gelten muß, weil der Punkt z := E_{1} ∩ ḡ_{2} singulär in diesem ist (aus (E_{1} ∩ F)^{div} = 2g_{1} + h + g und μ_{z}((E_{1} ∩ F)^{div}) ≥ 2 folgt z ∈ h ∩ g). Wir nehmen nun einen Kegelschnitt C_{2} auf F an, dessen Trägerebene wieder mit E bezeichnet wird. Es gilt sicherlich E ∉ ḡ_{1}^{∨} ∪ ḡ_{2}^{∨}, denn jene Ebenen schneiden F nur in Geraden. Satz 2.5.7 zufolge gibt es nun Geraden g und h mit (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g + h. Der Fall g ≠ h ist nicht möglich, da zwei verschiedene Geraden eine der beiden Doppelgeraden in zwei getrennten Punkten schneiden würden, weshalb E doch eine solche enthalten müßte. Also ist g = h. Sei x := g ∩ ḡ_{1} und y := g ∩ ḡ_{2} . Da nun (TC_{x}F)^{∨} ⊂ ḡ_{1}^{∨} und (TC_{y}F)^{∨} ⊂ ḡ_{2}^{∨} gilt (Satz 2.6.1), also E ⊈ TC_{x}F und E ⊈ TC_{y}F , liefert Lemma 2.5.5 μ_{x}((F ∩ E)^{div}) = μ_{x}(C_{2} + 2g) = 2 sowie μ_{y}((F ∩ E)^{div}) = μ_{y}(C_{2} + 2g) = 2 und damit x, y ∉ C_{2} . Nun gilt TC_{x}F ∩ E = TC_{y}F ∩ E = g, denn im Schnitt E ∩ F geht jede von g verschiedene Gerade durch x bzw. y mit nur zweifacher Multiplizität durch diese Punkte, da sie C_{2} schon in zwei Punkten schneidet. Daher ist TC_{x}F die Verbindungsebene von g und ḡ_{1} und TC_{y}F diejenige von g und ḡ_{2} . Betrachtet man nun eine von E verschiedene Ebene E′ durch g, so schneidet diese F in g und einer Restkurve R, wobei g ⊈ R und μ_{z}((F ∩ E′)^{div}) = 1 für alle Punkte z ∈ g\R gilt (beachte E′ ≠ E = T_{p}F für jedes p ∈ g ∩ F^{sm} und Lemma 2.5.5). Daher enthält R x und y als reguläre Punkte ( μ_{x}(R) = μ_{y}(R) = 1 wegen μ_{x}((F ∩ E′)^{div}) = μ_{x}(g + R) = 2 und μ_{y}((F ∩ E′)^{div}) = μ_{y}(g + R) = 2). Aus T_{x}R ⊂ TC_{x}F und T_{y}R ⊂ TC_{y}F (siehe Gleichung Stern im Beweis von Satz 2.6.1) folgt schließlich T_{x}R = T_{y}R = g. Letzteres ist jedoch wegen deg R ≤ 3 unmöglich.

3.9 Quartiken mit einer Gerade von Doppelpunkten

Von den Quartiken f, welche eine Gerade ḡ ⊆ Sing F , ḡ ⊄ Sing_{3}F von Doppelpunkten besitzen, sind nun bereits alle bis auf die des Typs (h) behandelt worden. Bevor jedoch für letztere die Untersuchung von C_{1,2}(F)^{irr} vorgenommen wird, sollen einige analytische Betrachtungen über die Quartiken mit einer Doppelgeraden ḡ angestellt werden. Dazu bezeichnen wir wieder mit f das irreduzible homogene Polynom, dessen Nullstellenmenge F ist, und mit A_{0}, …, A_{3} die Grundpunkte des Koordinatensystems. Wählt man A_{2} und A_{3} auf ḡ, so sieht man leicht, daß f von der Bauart

f = x_{2}^{2}u_{2} + 2x_{2}x_{3}v_{2} + x_{3}^{2}w_{2} + 2x_{2}u_{3} + 2x_{3}v_{3} + u_{4}  (3.16)

ist, worin u_{2}, v_{2}, w_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4} ∈ k[x_{0}, x_{1}] homogen vom Grad der entsprechenden Indizes sind (vgl. [16, S.444]). Die Formen u_{2}, v_{2} und w_{2} sind nicht gleichzeitig identisch Null, da sonst ḡ ⊆ Sing_{3}F wäre. Bisher ist nicht klar, wann ein Polynom der Form (3.16) irreduzibel ist. Auf diese Frage wird zunächst eine Teilantwort gegeben. Dem Polynom f entspricht im allgemeinen ein Divisor D des IP^{3} . Sehr einfach ist der Fall zu übersehen, in dem D eine Ebene durch die Gerade ḡ = V ({x_{0}, x_{1}}) als einen Summanden enthält. Dieser Fall tritt nämlich genau dann auf, wenn u_{2}, v_{2}, w_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4} einen gemeinsamen Faktor besitzen. Um dies einzusehen, kann man eine Koordinatentransformation durchführen, so daß der neue Koordinatengrundpunkt A_{1} in die Ebene E zu liegen kommt, nach deren Ausführung also E = V (x_{0}) gilt. An der so transformierten Gleichung (3.16) erkennt man dann leicht, daß x_{0} die Formen u_{2}, v_{2}, w_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4} allesamt teilen muß. Das Polynom f wurde so konstruiert, daß für alle Punkte x ∈ ḡ μ_{x}(D) ≥ 2 gilt. Daher schneiden alle Ebenen E durch ḡ, die nicht in D als Summand auftreten, D in dem Divisor (D ∩ E)^{div} = 2ḡ + R_{E}, worin R_{E} ein Restdivisor zweiten Grades von E ist.

Satz 3.9.1. Wenn es für den zum Polynom f aus Gleichung (3.16) gehörigen Divisor D des IP^{3} eine Ebene E durch die Gerade ḡ = V ({x_{0}, x_{1}}) gibt, so daß (D∩E)^{div} = 2ḡ+R_{E} mit einem Kegelschnitt R_{E} gilt, so ist D genau dann eine irreduzible Fläche vierter Ordnung, wenn die Formen u_{2}, v_{2}, w_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4} keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Beweis. Die Aussagerichtung ’⟹’ ist klar. Für den Beweis der anderen Richtung sei zunächst bemerkt, daß für Punkte x aus einer geeigneten nichtleeren offenen Teilmenge von ḡ stets μ_{x}(D) = 2 ist, da u_{2}, v_{2} und w_{2} nach Voraussetzung nicht gleichzeitig verschwinden. Falls nun D keine Quartik ist und eine Ebene durch ḡ enthält, so folgt die Behauptung des Satzes aus den Vorbemerkungen zu diesem. Wenn nun aber D keine Quartik ist, aber auch keine Ebene durch ḡ enthält, so kann D nur noch in zwei (möglicherweise übereinstimmende) Quadriken durch ḡ oder aber in eine Kubik mit Doppelgerade ḡ und eine nicht durch ḡ gehende Ebene zerfallen. In beiden Fällen sieht man aber sofort, daß die R_{E} keine Kegelschnitte sein können.

Wir wollen nun die analytische Bedingung in (3.16) dafür berechnen, daß R_{E} ein Kegelschnitt ist. Dazu betrachten wir den Fall E ≠ V (x_{1}) (der Fall E ≠ V (x_{0}) verläuft analog) und schreiben E = V (ax_{0} − bx_{1}) mit a ≠ 0. Der Divisor R_{E} wird auf E durch ein Polynom g = ∑_{i,j=1}^{3} a_{ij}x_{i}x_{j} ∈ k[x_{1}, x_{2}, x_{3}] induziert, und man kann hierin o.B.d.A. A := (a_{ij})_{i,j=1,...,3} als symmetrisch (also als Darstellungsmatrix von R_{E}) annehmen. Man berechnet A, indem man in (3.16) x_{0} = \frac{b}{a}x_{1} ersetzt und mit a^{4} durchmultipliziert, zu

A = ( \begin{matrix}u_{4}(b, a) & au_{3}(b, a) & av_{3}(b, a) \\ au_{3}(b, a) & a^{2}u_{2}(b, a) & a^{2}v_{2}(b, a) \\ av_{3}(b, a) & a^{2}v_{2}(b, a) & a^{2}w_{2}(b, a) \end{matrix} ) .  (3.17)

Nun ist R_{E} genau dann ein Kegelschnitt, wenn det A ≠ 0 ist. Diejenigen Ebenen E = V (ax_{0} − bx_{1}), für die R_{E} zerfällt, sind daher durch die Nullstellen des folgenden Polynoms achten Grades in (b, a) gegeben:

r = u_{4}(u_{2}w_{2} − v_{2}^{2}) − v_{3}^{2}u_{2} − u_{3}^{2}w_{2} + 2u_{3}v_{3}v_{2}  (3.18)

In dem durch Satz 3.9.1 behandelten Fall gibt es daher höchstens acht Ebenen durch ḡ, für die R_{E} kein Kegelschnitt ist. Der gegenteilige Fall, daß alle Ebenen durch ḡ keine Kegelschnitte aus F auschneiden, ist durch das identische Verschwinden von r gekennzeichnet. Während im ersten Fall klar ist, daß es eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschnitten auf F gibt, nämlich die so erhaltenen, bereitet der zweite Fall noch einige Mühe.

An (3.16) kann man die Gleichungen der Tangentenkegel an F in den Punkten A_{2} und A_{3} ablesen, die offensichtlich in Ebenen durch ḡ zerfallen: TC_{A_{2}}F = V (u_{2}) und TC_{A_{3}}F = V (w_{2}). Um den Tangentenkegel in einem beliebigen Punkt x von ḡ zu berechnen, transformiert man in (3.16) etwa A_{3} in den neuen Koordinatengrundpunkt x = A′_{3} = (0, 0, λ, μ) ∈ ḡ\{A_{2}} (μ ≠ 0). Im neuen Koordinatensystem gilt

f = x_{2}^{2}u_{2} + 2x_{2}x_{3}(\underbrace{λu_{2} + μv_{2}}_{=:v_{x}}) + x_{3}^{2}(\underbrace{λ^{2}u_{2} + 2λμv_{2} + μ^{2}w_{2}}_{=:w_{x}})+

+2x_{2}u_{3} + 2x_{3}v_{3} + u_{4}.  (3.19)

Eine entsprechende Gleichung erhält man für x ∈ ḡ\{A_{3}}. Da Ebenen durch ḡ in all diesen Koordinatensystemen dieselbe Gleichung besitzen, gilt auch im ursprünglichen Koordinatensystem TC_{x}F = V (w_{x}).

Satz 3.9.2. Die Gleichung einer Quartik vom Typ (h) (gemäß Paragraph 3.2), für welche die Form r aus (3.18) identisch verschwindet, vereinfacht sich bei Wahl der Koordinatengrundpunkte A_{0} ∈ TC_{A_{2}}F und A_{1} ∈ TC_{A_{3}}F zu

f = (x_{0}x_{2} + x_{1}x_{3} + u_{2})^{2} + v_{4} = 0,  (3.20)

wobei u_{2}, v_{4} ∈ k[x_{0}, x_{1}] homogen vom Grad zwei und vier sind, und v_{4} aus vier verschiedenen linearen Faktoren besteht.

Beweis. Für jede Ebene E durch ḡ schreiben wir (F ∩E)^{div} = 2ḡ+g_{E}+h_{E} mit den von E abhängenden Geraden g_{E} und h_{E}. Auf einer geeigneten nichtleeren offenen Menge von Ebenen durch ḡ gilt Korollar 2.6.2 zufolge Cont_{E}F ⊆ ḡ für alle Ebenen E aus dieser Menge sowie E ∩ Sing F = ḡ, da F außerhalb ḡ höchstens isolierte Singularitäten besitzt. Das heißt aber, daß sich die Geraden g_{E} und h_{E} stets auf ḡ schneiden. Denn wäre z := g_{E} ∩ h_{E} ∉ ḡ, dann ist z regulär, also nach Lemma 2.5.5 E = T_{z}F , was auf den Widerspruch z ∈ Cont_{E}F führt. Zu der Ebene E := V (ax_{0} − bx_{1}) gibt es daher stets einen Vektor v = (0, v_{2}, v_{3}), für den mit der Matrix A aus (3.17) Av = 0 gilt (v entspricht dabei dem Schnittpunkt von g_{E} und h_{E} auf ḡ). Daher muß für alle Zahlen a, b die rechte untere 2×2–Unterdeterminante von det A verschwinden. Das bedeutet aber

u_{2}w_{2} = v_{2}^{2}.  (∗)

Wäre v_{2} ≡ 0, dann wegen (∗) auch u_{2} ≡ 0 oder w_{2} ≡ 0. Sei o.B.d.A. u_{2} ≡ 0, also w_{2} ≢ 0 (sonst wäre F vom Typ (i)). Aus (3.18) folgt u_{3} ≡ 0 und daraus f ∈ k[x_{0}, x_{1}, x_{2}] . Dann ist F ein Kegel mit Spitze A_{2} , was hier aber ausgeschlossen wurde. Daher gilt v_{2} ≢ 0 und wegen (∗) auch u_{2} ≢ 0 und w_{2} ≢ 0. Würden u_{2} und w_{2} je in zwei verschiedene lineare Faktoren zerfallen, so wären sie beide nach (∗) zu v_{2} proportional (Primfaktorzerlegung!). An (3.19) erkennt man dann, daß es ein x ∈ ḡ geben muß, so daß w_{x} ≡ 0 ist. Dies kann aber nicht sein, denn die Argumentation. daß w_{2} ≢ 0 gilt, war unabhängig von der Wahl des Koordinatengrundpunktes A_{3} auf ḡ. Die eindeutige Primfaktorzerlegung in k[x_{0}, x_{1}] zeigt nun, daß sowohl u_{2} als auch w_{2} stets Quadrate linearer Polynome sind. Wählt man A_{1} ∈ TC_{A_{2}}F , A_{0} ∈ TC_{A_{3}}F und geeignete Normierungsfaktoren, so erhält man u_{2} = x_{0}^{2}, w_{2} = x_{1}^{2} und aus (∗) v_{2} = x_{0}x_{1} . Die Bedingung, daß das Polynom r aus (3.18) identisch verschwindet, liefert nun (v_{3}x_{0}−u_{3}x_{1})^{2} = 0, woraus man durch Vergleich der Primfaktoren auf v_{3} = x_{1}u_{2} und u_{3} = x_{0}u_{2} mit einem geeigneten u_{2} ∈ k[x_{0}, x_{1}] schließt. Setzt man all dies in Gleichung (3.16) ein und definiert v_{4} := u_{4} − u_{2}^{2} ∈ k[x_{0}, x_{1}] , so resultiert als Gleichung von F:

f = (x_{0}x_{2} + x_{1}x_{3})^{2} + 2(x_{0}x_{2} + x_{1}x_{3})u_{2} + u_{4} =

= (x_{0}x_{2} + x_{1}x_{3} + u_{2})^{2} + v_{4} = 0.  (∗∗)

Wenn v_{4} einen zweifachen linearen Faktor besitzt, so schneidet die zu diesem gehörige Ebene aus F eine weitere von ḡ verschiedene Doppelgerade aus (betrachte die Ableitungen von f) und man sieht, daß F notwendigerweise eine Quartik vom Typ (f) ist. Damit besteht v_{4} aus vier verschiedene Faktoren.

Bemerkung: Da in (3.20) die Wahl der Koordinatengrundpunkte auf ḡ beliebig ist, sieht man, daß TC_{x}F für alle x ∈ ḡ eine einzige Ebene ist, weil dies in (3.20) für A_{2} und A_{3} gilt (vgl. (3.19)).

Satz 3.9.3. Eine Quartik F vom Typ (h), für die r aus (3.18) identisch verschwindet, enthält überhaupt keine Kegelschnitte, also C_{1,2}(F)^{irr} = ∅.

Beweis. Zunächst gibt es keine zu ḡ windschiefe Gerade auf F. Denn wäre h eine solche, so kann man in (3.20) A_{0}, A_{1} ∈ h wählen, und es müßte in diesem neuen Koordinatensystem u_{2}^{2} = −v_{4} gelten, was aber nicht möglich ist, da v_{4} nach Satz 3.9.2 in vier verschiedene Faktoren zerfällt. Nun nehmen wir einen Kegelschnitt C_{2} ⊂ F mit Trägerebene E an, welche sicherlich nicht die Gerade ḡ enthält. Sei x := E ∩ ḡ. Nach Satz 2.5.7 hat man (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g + h mit Geraden g und h, die beide x enthalten, da sie nicht windschief zu ḡ sind. Die Verbindungsebenen von g und ḡ sowie h und ḡ sind Lemma 2.5.5 zufolge in TC_{x}F enthalten, und da es sich dabei nach obiger Bemerkung nur um eine einzige Ebene handelt, folgt g = h. Nun paßt man das Koordinatensystem wie folgt an: A_{2} := x, A_{1} ∈ g\{A_{2}} und A_{0} ∈ (E ∩ TC_{A_{3}}F)\ḡ. In diesem Koordinatensystem hat f die Gestalt (3.20) und es gilt E = V (x_{3}) und g = V ({x_{0}, x_{3}}). Nun muß das Polynom l := f(x_{0}, x_{1}, x_{2}, 0) = x_{2}^{2}x_{0}^{2} + 2x_{2}x_{0}u_{2} + u_{2}^{2} + v_{4} wegen g = h von x_{0}^{2} geteilt werden. Dann wird aber notwendigerweise u_{2} von x_{0} geteilt, denn der Koeffizient des Terms x_{2}x_{0}x_{1}^{2} in l muß Null sein, weshalb u_{2} den Term x_{1}^{2} nicht enthalten kann. Daher wird v_{4} von x_{0}^{2} geteilt im Widerspruch zu Satz 3.9.2.

Nach diesem Satz lassen sich zunächst zwei Untertypen von (h) unterscheiden, von denen der eine, den wir mit (h1) bezeichnen, die Quartiken des Gleichungstyp (3.20) ohne Kegelschnitte umfaßt, während alle nicht zu (h1) gehörigen Flächen des Typs (h) mindestens eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschnitten besitzen, deren Varietät der Trägerebenen T^{∨} (siehe Satz 2.6.3) eine offene Teilmenge von ḡ^{∨} ist. Für diese Flächen ist die Anzahl der irreduziblen Komponenten der Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr} nicht so einfach zu ermitteln wie im Fall der übrigen Typen von Quartiken mit eindimensionalem singulären Ort. Die systematische Untersuchung dieser Frage wird aus diesem Grund unterbleiben. Aus Paragraph 3.6 ist bereits bekannt, daß es Quartiken vom Typ (h) gibt, für die C_{1,2}(F)^{irr} irreduzibel und zweidimensional ist, und die dort mit (h7) typisiert wurden. Die Segre–Methode liefert aber noch weitere Quartiken vom Typ (h), die sich nach Zahl der eindimensionalen irreduziblen Komponenten von C_{1,2}(F)^{irr} unter Verwendung der Sätze aus 3.4 wie folgt ordnen lassen (beachte, daß das Projektionszentrum y nun notwendigerweise auf einem Kegel zweiter Art aus L liegen muß (Korollar 3.4.3), vgl. Tabellen 1 und 2).

\begin{matrix}(h2) & 1 & 0 & [( ¯41)] \\ (h3) & 3 & 1 & [( ¯31)1], [3( ¯11)], [2( ¯21)] \\ (h4) & 4 & 1 & [( ¯11)(11)1] \\ (h5) & 5 & 2 & [( ¯21)11], [2( ¯11)1] \\ (h6) & 7 & 3 & [( ¯11)111] \end{matrix}

Tabelle 3 Erste Spalte: Typ-Bezeichnung Zweite Spalte: Anzahl der Kegelschnittfamilien Dritte Spalte: Anzahl der Kummerschen Kegel Vierte Spalte: Segre–Symbol der zugehörigen Flächen Φ

Wir führen für alle übrig bleibenden Quartiken vom Typ (h) die einheitliche Bezeichnung (h8) ein, auch wenn dabei möglicherweise Flächen mit einer unterschiedlichen Zahl irreduzibler ein– oder mehrdimensionaler Komponenten von C_{1,2}(F)^{irr} zusammengefaßt werden. Man beachte, daß für die Flächen vom Typ (h8) C_{1,2}(F)^{irr} auch mehrere nulldimensionale Komponenten besitzen kann. Für den allgemeinsten Fall einer Quartik vom Typ (h) (in dem auf F genau sechzehn Geraden liegen, insbesondere also r aus (3.18) acht verschiedene Nullstellen besitzt) haben die Geometer des letzten Jahrhunderts (vermutlich Clebsch als erster) gezeigt, daß es neben der einparametrigen Kegelschnittfamilie auf F genau noch 128 weitere (isolierte) Kegelschnitte gibt ([5, S.274], [15, S.1633], [12, S.118]).

3.10 Quartiken mit einer Gerade dreifacher Punkte

Abschließend folgt die Behandlung der Quartiken vom Typ (i) gemäß der Einteilung aus Paragraph 3.2, für die der singuläre Ort Sing F aus einer Gerade ¯ḡ = Sing_{3}F dreifacher Punkte besteht. Wählt man die Koordinatengrundpunkte A_{2} und A_{3} wieder auf ¯ ḡ, so erhält man als irreduzible Gleichung von F wegen (TC_{A_{2}}F)^{∨} ⊂ ¯ ḡ^{∨}, (TC_{A_{3}}F)^{∨} ⊂ ¯ ḡ^{∨} (Satz 2.6.1) und μ_{A_{2}}(F) = μ_{A_{3}}(F) = 3 zusammen mit der Bemerkung im Anschluß an Gleichung (1.3) sofort

f = x_{2}u_{3} + x_{3}v_{3} + u_{4} = 0  (3.21)

mit homogenen Formen u_{3}, v_{3}, u_{4} ∈ k[x_{0}, x_{1}] der Grade drei bzw. vier. Analog zu den Vorbemerkungen zu Satz 3.9.1 sieht man, daß f genau dann irreduzibel ist, wenn u_{3}, v_{3} und u_{4} keinen gemeinsamen Faktor besitzen. Man beachte dazu, daß der zu f gehörige Divisor des IP^{3} eine Ebene durch ¯ ḡ enthalten muß, falls er keine irreduzible Fläche vierten Grades ist. Da wir F stets als von einem Kegel verschieden voraussetzen, können u_{3} und v_{3} nicht proportional, und schon gar nicht identisch Null sein. Auf ähnliche Weise, wie bei der Herleitung von (3.19) berechnet man den Tangentenkegel an F in einen Punkt x = (0, 0, λ, μ) ∈ ¯ ḡ zu TC_{x}F = V (λu_{3} + μv_{3}). Man kann die Menge aller homogenen Polynome dritten Grades aus k[x_{0}, x_{1}] (bei Identifizierung proportionaler) als Punkte eines dreidimensionalen projektiven Raumes IP^{ν_{1,3}} = IP^{3} auffassen. Die von u_{3} und v_{3} aufgespannte Gerade darin bezeichnen wir mit W.

Satz 3.10.1. Für eine (von einem Kegel verschiedene) Quartik F vom Typ (i) gibt es durch jeden Punkt von ¯ ḡ höchstens drei von ¯ ḡ verschiedene auf F gelegene Geraden. In den Fällen

(a) wo u_{3} und v_{3} teilerfremd sind, gibt es durch jeden Punkt x von ¯ ḡ mindestens eine von ¯ ḡ verschiedene Gerade auf F und durch alle bis auf höchstens zwei solche Punkte mindestens zwei.

(b) wo u_{3} und v_{3} genau einen gemeinsamen linearen Faktor besitzen, gibt es durch alle bis auf höchstens einen Punkt x von ¯ ḡ mindestens eine von ¯ ḡ verschiedene Gerade auf F und durch alle bis auf höchstens drei solche Punkte genau zwei.

(c) wo u_{3} und v_{3} einen gemeinsamen quadratischen Faktor besitzen, gibt es durch alle bis auf ein oder zwei Punkte von ¯ ḡ genau eine von ¯ ḡ verschiedene Gerade auf F.

Beweis. Jede Ebene E, die zu einem x ∈ ¯ ḡ im Tangentenkegel TC_{x}F enthalten ist und F nicht längs ¯ ḡ berührt, schneidet F neben ¯ ḡ in einer weiteren Geraden durch x. Umgekehrt muß aber auch die Verbindungsebene von ¯ ḡ mit einer von ¯ ḡ verschiedenen, auf F gelegenen Gerade durch x in TC_{x}F enthalten sein (Lemma 2.5.5). Daher gibt es höchstens drei solche Geraden, da TC_{x}F in höchstens drei Ebenen durch ¯ ḡ zerfällt. Zu jeder Ebene, die F längs ¯ ḡ berührt gehört mindestens ein gemeinsamer linearer Faktor von u_{3} und v_{3} und umgekehrt. Im Fall (a) geht daher durch jeden Punkt von ¯ ḡ mindestens eine von ¯ ḡ verschiedene auf F gelegene Gerade, da es keine Ebene gibt, welche F längs ¯ ḡ berührt. Wenn man nun die homogenen Formen dritten Grades aus k[x_{0}, x_{1}] als Punkte des Raums IP^{ν_{1,3}} = IP^{3} auffaßt, so bilden hierin die in die dritte Potenz erhobenen linearen Formen eine irreduzible kubische Raumkurve V_{1}^{3} (Veronesekubik, vgl. die Einführung der kubischen Kurven in Paragraph 3.3). Die oben definierte Gerade W schneidet V_{1}^{3} aber höchstens in zwei Punkten (siehe 3.3) und daher besteht für alle bis auf höchstens zwei Punkte von ¯ ḡ der Tangentenkegel TC_{x}F aus mindestens zwei verschiedenen Ebenen. Aus den Bemerkungen zu Anfang des Beweises folgt deshalb (a). Im Fall (b) kann man λu_{3}+μv_{3} = w_{1}(λu_{2}+μv_{2}) mit einer linearen Form w_{1} und quadratischen Formen u_{2} und v_{2} schreiben. Die von u_{2} und v_{2} in IP^{ν_{1,2}} = IP^{2} aufgespannte Gerade W′ schneidet den Veronesekegelschnitt V_{1}^{2} ⊂ IP^{ν_{1,2}} , dessen Punkten die in die zweite Potenz erhobenen linearen Formen entsprechen, in höchstens zwei Punkten. Die Tangente an V_{1}^{2} in dem der Form w_{1}^{2} entsprechenden Punkt von V_{1}^{2} enthält alle quadratischen Polynome, die von w_{1} geteilt werden. Da sie sicherlich von W′ verschieden ist, gibt es mit ihr genau einen Schnittpunkt. Aus den Bemerkungen zu Anfang des Beweises folgt nun (b), denn es kann höchstens einen Punkt x ∈ ¯ ḡ geben, für den TC_{x}F = V (w_{1}) ist (falls w_{1}^{2} ∈ W′) und höchstens drei, für die TC_{x}F weniger als zwei von V (w_{1}) verschiedene Ebenen enthält. Im Fall (c) schreibt man λu_{3} + μv_{3} = w_{2}(λu_{1} + μv_{1}) mit der quadratischen Form w_{2} und den beiden linearen Formen u_{1} und v_{1} . Nun wird für höchstens zwei Punkte x = (0, 0λ, μ) ∈ ¯ ḡ das Polynom w_{2} von λu_{1} + μv_{1} geteilt und aus den Bemerkungen zu Anfang des Beweises folgt schließlich (c).

Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich die Quartiken F vom Typ (i), die nun insbesondere als Regelflächen erkannt sind, in drei Untertypen mit folgenden kennzeichnenden Eigenschaften einteilen:

(i1) Durch alle bis auf höchstens zwei Punkte von ¯ ḡ geht genau eine von ¯ ḡ verschiedene, auf F gelegene Gerade (Fall (c) aus Satz 3.10.1).

(i2) F enthält eine zu ¯ ḡ windschiefe Gerade.

(i3) F enthält keine zu ¯ ḡ windschiefe Gerade und durch alle bis auf höchstens drei Punkte von ¯ ḡ gehen mindestens zwei von ¯ ḡ verschiedene, auf F

gelegene Gerade.

Zur Rechtfertigung dieser Einteilung ist noch zu überlegen, daß es für eine Quartik F vom Typ (i1) keine zu ¯ ḡ windschiefe Gerade auf F gibt. Denn wäre etwa h ⊂ F zu ¯ ḡ windschief, so schneidet jede Ebene E^{∨} ∈ h^{∨} durch h mit Cont_{E}F ⊆ h (bilden nach Korollar 2.6.2 eine offene Menge in h^{∨}) die Fläche F neben h in drei verschiedenen durch x := E ∩ ¯ ḡ gehenden Geraden, da μ_{x}((F ∩ E)^{div}) ≥ 3 gilt und eine ebene Kurve dritter Ordnung mit dreifachem Punkt in lauter Geraden durch diesen zerfällt.

Satz 3.10.2. Die Quartiken der Typen (i1) und (i2) enthalten keine Kegelschnitte, also C_{1,2}(F)^{irr} = ∅.

Beweis. Fall (i1): Nehme einen Kegelschnitt C_{2} ⊂ F mit Trägerebene E an. Laut Satz 2.5.7 gibt es Geraden g_{1} und g_{1} mit (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g_{1} + g_{2} . Die Ebene E enthält sicherlich nicht ¯ ḡ, da derartige Ebenen F nur in Geraden schneiden. Nach Voraussetzung über den Typ (i1) gibt es durch x := E ∩ ¯ ḡ genau eine Gerade, aber keine zu ¯ ḡ windschiefe auf F gelegene Gerade. Daraus schließt man g_{1} = g_{2} und wegen Sing F = ¯ ḡ (Satz 3.2.2) folgt g_{1} = Cont_{E}F . In Gleichung (3.21) kann man die Koordinatenwahl A_{2} := x, A_{1} ∈ g_{1}\¯ḡ sowie A_{0} ∈ E\g_{1} annehmen. Damit gilt E = V (x_{3}) und g = V ({x_{0}, x_{3}}) sowie f = (x_{2}x_{0} +x_{3}u_{1})w_{2} +u_{4} (Satz 3.10.1 (c)) mit geeigneten u_{1}, w_{2}, u_{4} ∈ k[x_{0}, x_{1}] . Folglich muß x_{2}x_{0}w_{2} + u_{4} von x_{0}^{2} geteilt werden. Dies kann nur sein wenn w_{2} von x_{0} und u_{4} von x_{0}^{2} geteilt wird, was aber auf die Reduzibilität von f führt (vgl. Beweis von Satz 3.9.3). Fall (i2): Sei h die zu ¯ ḡ windschiefe Gerade auf F. Es wurde bereits im Anschluß an obige Einteilung gezeigt, daß es durch Punkte x aus einer geeigneten offenen Teilmenge von ¯ ḡ stets genau drei verschiedene Geraden auf F gibt, welche h schneiden. Daran erkennt man, daß es auf F keine von h verschiedene und zu ¯ḡ windschiefe Gerade geben kann. Denn wäre l eine solche, so schneidet l für zwei verschiedene Punkte x, y ∈ ¯ ḡ sowohl die drei auf F gelegenen Geraden durch x als auch die durch y. Deren jeweilige Verbindungsebenen schneiden sich aber in h und es folgt h = l. Es wird nun wieder ein Kegelschnitt C_{2} ⊂ F mit Trägerebene E angenommen, welche sicherlich nicht zu den Büscheln ¯ ḡ^{∨} und h^{∨} gehört. Es gibt nach Satz 2.5.7 Geraden g_{1} und g_{2} mit (F ∩ E)^{div} = C_{2} + g_{1} + g_{2} . Aus g_{1} ≠ g_{2} würde h ⊂ E folgen, da beide Geraden h schneiden, ihr gemeinsamer Punkt aber auf ¯ ḡ liegt (g_{1}, g_{2} nicht windschief zu ¯ ḡ). Also ergibt sich auch hier g_{1} = g_{2} und daraus g_{1} = Cont_{E}F . Der Punkt z := g_{1} ∩ h ist wegen Sing F = ¯ ḡ regulär und es folgt E = T_{z}F ⊃ h, was aber oben ausgeschlossen wurde.

Satz 3.10.3. Die Quartiken vom Typ (i3) besitzen eine einparametrige Familie von Kegelschnitten.

Beweis. Zu zeigen: card C_{1,2}(F)^{irr} = ∞ (daraus folgt dim C_{1,2}(F)^{irr} ≥ 1). Zu jedem Punkt x ∈ ¯ ḡ, durch den zwei von ¯ ḡ verschiedene Geraden g_{1} ≠ g_{2} gehen, betrachte man die Verbindungsebene E_{x} von g_{1} und g_{2} . Man erhält zunächst (F ∩E_{x})^{div} = g_{1}+g_{2}+C_{x} mit deg C_{x} = 2. Bei C_{x} handelt es sich aber bestimmt um einen Kegelschnitt, denn wegen E_{x} ⊅ ¯ ḡ gilt E_{x} ⊈ TC_{x}F (Satz 2.6.1) also nach Lemma 2.5.5 μ_{x}((F ∩ E_{x})^{div}) = 3, wohingegen aus C_{x} = h_{1}+h_{2} mit (eventuell übereinstimmenden) Geraden h_{1} und h_{2} μ_{x}((F ∩ E_{x})^{div}) = 4 folgen würde (x ∈ g_{1}, g_{2}, h_{1}, h_{2} ).

Zusammenfassung

Abschließend wird eine Übersicht über die Ergebnisse der Arbeit gegeben. Für diejenigen Flächen, die hier von Interesse sind, werden dabei auch Gleichungsdarstellungen zusammengestellt. Allerdings wird die Wahl des Koordinatensystems hier nicht mehr wiederholt. Sie ist den entsprechenden Textstellen zu entnehmen. Die Symbole u_{i}, v_{i}, w_{i} stehen auch hier wieder für homogene Polynome vom Grad i.

Nachdem in Kapitel 2 alle theoretischen Hilfsmittel bereitgestellt wurden, konnten in Kapitel 3 sämtliche Quartiken, auf denen es eine einparametrige algebraische Familie von Kegelschnitten gibt, bestimmt werden. Es zeigte sich in Paragraph 3.1, daß es unter den Quartiken, welche keine Kurve singulärer Punkte besitzen, nur zwei Typen mit dieser Eigenschaft gibt. Für diese ist die Chow–Varietät C_{1,2}(F)^{irr}, die man Satz 2.2.2 zufolge als universelle Parametervarietät der Familie aller auf F gelegenen Kegelschnitte betrachten kann, irreduzibel und eindimensional (d.h. es gibt im wesentlichen genau eine algebraische Familie von Kegelschnitten auf diesen, siehe Satz 3.1.8). Es wurden die Typen–Benennungen (j1) und (j2) verwendet und in Satz 3.1.7 folgende Gleichungsdarstellungen ermittelt: (j1): (2x_{0}x_{3} + u_{2})^{2} + x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})(x_{1} + ax_{2}) = 0

mit a ≠ 1, 0 und u_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] . (j2): (x_{3}^{2} + 2x_{0}x_{1} + u_{2})^{2} + x_{2}(x_{1} + x_{2})(x_{1} + ax_{2})(x_{1} + bx_{2}) = 0

mit a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b und u_{2} ∈ k[x_{1}, x_{2}] . Die Flächen des ersten Typs besitzen zwischen zwei und vier isolierte Singularitäten, während es im Fall von (j2) genau eine solche gibt.

Die Quartiken mit einer Kurve singulärer Punkte wurden anschließend gemäß der Unterteilung aus Paragraph 3.2 untersucht. Mit Ausnahme der sechs Typen (a1), (c1), (g), (h1), (i1) und (i2), bei denen es sich stets um Regelflächen handelt, und die abgesehen vom Doppelpunktskegelschnitt im Fall (c1) überhaupt keine Kegelschnitte enthalten (Sätze 3.3.4, 3.5.2, 3.8.1, 3.9.3 und 3.10.2), besitzen alle diese Quartiken mindestens eine einparametrige Familie von Kegelschnitten. Auch zu diesen gehören Regelflächen, namentlich die Typen (a2), (c2), (f1), (d) und (i3). Im Fall des Typs (a2) erhält man als Gleichung: (a2): a_{00}(x_{0}x_{2} − x_{1}^{2})^{2} + a_{11}(x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2})^{2} + a_{22}(x_{1}x_{3} − x_{2}^{2})^{2}+

+2a_{01}(x_{0}x_{2} − x_{1}^{2})(x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2}) + 2a_{02}(x_{0}x_{2} − x_{1}^{2})(x_{1}x_{3} − x_{2}^{2})+

+2a_{12}(x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2})(x_{1}x_{3} − x_{2}^{2}) = 0

mit a_{ij} ∈ k, det(a_{ij})_{i,j=0,...,2} ≠ 0 und a_{00}a_{22} −4a_{01}a_{12} +2a_{02}a_{11} +a_{11}^{2} ≠ 0 Die Determinantenbedingung sorgt für die Irreduzibilität der Gleichung, während die letzte Bedingung die Quartiken vom Typ (a1) ausschließt (man verwende die Gleichung des Geradenkomplexes K_{1} (3.5) und beachte, daß die duale Varietät P^{∨} der Plückerquadrik P dieselbe Gleichung wie P besitzt, letztere ist im Anfang von Paragraph 2.5 angegeben). Sind in der Gleichung speziell a_{02} = 2, a_{11} = −1 und alle anderen Zahlen null, so liegt Gleichung (3.4) einer Torse vor. Gleichungsdarstellungen für die Typen (c2), (f1) und (d) werden später als Spezialisierungen allgemeinerer Gleichungen auftreten, welche für die Typen (b), (f) und (h) angegeben werden. Eine Quartik vom Typ (i3) besitzt in geeigneten Koordinaten die Gleichung: (i3): x_{2}x_{0}x_{1}u_{1} + x_{3}u_{3} + x_{0}x_{1}u_{2} = 0

mit u_{1}, u_{2}, u_{3} ∈ k[x_{0}, x_{1}] und wobei u_{2} nicht von u_{1} und u_{3} nicht von

x_{0}x_{1} geteilt wird.

Dabei liegen die Koordinatengrundpunkte A_{2} und A_{3} auf der dreifachen Gerade ¯ḡ von F, während A_{0} und A_{1} je auf einer der zwei von ¯ ḡ verschiedenen, auf F gelegenen Geraden durch A_{2} befindlich sind. Eine solche Gleichung liefert auch stets eine Quartik vom Typ (i3).

Es wurden drei Flächen mit einer zweiparametrigen Familie von Kegelschnitten aufgefunden. Es handelte sich dabei um die Römerfläche von Steiner (Typ (e)) und ihre beiden Entartungstypen (f10) und (h7), deren Behandlung in Paragraph 3.6 erfolgte, wo auch ihre Gleichungen ermittelt wurden ((3.12), (3.13), (3.14)).

(e): x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{3}^{2} + x_{2}^{2}x_{3}^{2} − 2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3} = 0 (f10): x_{1}^{4} + 2x_{0}x_{1}^{2}x_{2} + x_{2}^{2}x_{3}^{2} = 0 (h7): (x_{1}^{2} + 2x_{2}x_{3})^{2} + x_{2}^{3}x_{0} = 0

Für diejenigen Quartiken, die mit Hilfe der Segre–Symbole unterschieden wurden (Tabelle 1, 2 und 3), wäre es zu mühsam, in jedem Fall eine Gleichung aufzustellen. Gemeinsam für die Flächen der Typen (b) und (c) wurde in 3.5 bereits die Gleichung (siehe (3.11)) (b)+(c): f = (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} − 2x_{3}u_{1})^{2} − 4x_{3}^{2}(u_{2} + u_{1}^{2}) = 0

mit u_{1}, u_{2} ∈ k[x_{0}, …, x_{3}]

angegeben. Man sieht, daß f genau dann reduzibel ist, wenn −u_{2} in Linearfaktoren zerfällt, deren Summe gerade u_{1} ergibt, denn f kann allerhöchstens in zwei irreduzible quadratische Faktoren der Form (x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} − 2x_{3}v_{1})(x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} − 2x_{3}w_{1}) zerfallen. Man erhält obige Gleichung aus (3.9) etwa durch Einsetzen der beiden Polynome f_{1} = x_{1}^{2} + 2x_{0}x_{2} + 2x_{3}x_{4} und f_{2} = x_{4}^{2} + 2x_{4}u_{1} − u_{2} . Um die Segre–Charakteristik der Quartik zu ermitteln transformiert man x_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x′_{0} + ix′_{2}), x_{1} = x′_{1}, x_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x′_{0} − ix′_{2}), x_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x′_{3} + ix′_{4}) und x_{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x′_{3} − ix′_{4}) (die gestrichenen sind die neuen Koordinaten!). Nach Ausführung der Transformation erhält man aus f_{1} und f_{2} die Polynome f̃_{1} = x_{0}^{′2} + x_{1}^{′2} + x_{2}^{′2} + x_{3}^{′2} + x_{4}^{′2} und f̃_{2} = x^{′∗}Ã_{2}x′ mit einer symmetrischen Matrix Ã_{2} , an deren Jordan–Normalform man die Segre–Charakteristik von F ablesen kann (siehe Anschluß an Satz 3.4.9). Die einzigen Quartiken von obigem Gleichungstyp, die keine einparametrige Familie von Kegelschnitten besitzen, sind diejenigen vom Typ (c1). Um diese auszuschließen, muß gefordert werden, daß die Matrix Ã_{2} keinen Eigenwert der algebraischen Vielfachheit fünf und geometrischen Vielfachheit zwei besitzt (Typ (c1) entspricht dem Segre–Typ [(32)]). Um gezielt die Gleichung einer Fläche der Typen (b1) bis (b8) oder (c2) zu ermitteln, kann man die Normaldarstellung von Φ gemäß Satz 3.4.9 verwenden, und die Projektion π_{y} an Hand von Gleichung (3.9) durchführen (Bez. aus Paragraph 3.4). Dies soll hier jedoch unterbleiben.

Alle bis hierhin noch nicht mit einer Gleichung versehenen Quartiken unseres Interesses besitzen eine Doppelgerade, mit der Eigenschaft, daß alle bis auf höchstens endlich viele Ebenen durch dieselbe Kegelschnitte der Quartik enthalten, wodurch eine der eventuell mehereren Kegelschnittfamilien auf F gegeben ist. Es sind dies die Typen (f1) bis (f9), (d), (h2) bis (h6) und (h8) (Tabelle 2, Satz 3.7.2, Tabelle 3). Gemäß Paragraph 3.9 besitzen all diese eine Gleichung der Art (vgl. (3.16)): (f)+(h): f = x_{2}^{2}u_{2} + 2x_{2}x_{3}v_{2} + x_{3}^{2}w_{2} + 2x_{2}u_{3} + 2x_{3}v_{3} + u_{4} = 0

mit zueinander teilerfremden u_{2}, v_{2}, w_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4} ∈ k[x_{0}, x_{1}] (Satz 3.9.1) und u_{4}(u_{2}w_{2} − v_{2}^{2}) − v_{3}^{2}u_{2} − u_{3}^{2}w_{2} + 2u_{3}v_{3}v_{2} ≢ 0 (gemäß der Abhandlung im Anschluß an Gleichung (3.18)).

Um an dieser Stelle endlich den Schlußpunkt der Arbeit zu finden, soll es dem Leser überlassen bleiben, zur Betrachtung der einzelnen Untertypen, welche durch die letzte Gleichung zusammengefaßt sind, selbige zu vereinfachen. Die der Segre–Methode zugänglichen Flächen können auch hier mit Hilfe der Normaldarstellung von Φ (gemäß Satz 3.4.9) gezielt mit Gleichungen versehen werden, wenn man die entprechenden Projektionen π_{y} an Hand von (3.9) durchführt.

Literaturverzeichnis

[1] Burau, W.: Algebraische Kurven und Flächen. Bd. I. Berlin. 1962. 153S.

[2] Burau, W.: Algebraische Kurven und Flächen. Bd. II. Berlin. 1962. 162S.

[3] Burau, W.: Mehrdimensionale projektive und höhere Geometrie. Berlin 1961. 436S.

[4] Castelnuovo, G.; Enriques, F.: Grundeigenschaften der algebraischen Flächen. In : Enz. d. Math. Wiss. Bd. III.2.1. Leipzig. 1903-1915. 636-676

[5] Clebsch, A.: Über die Abbildung algebraischer Flächen, insbesondere der vierten und fünften Ordnung. Math. Ann. 1 (1869). 253-316

[6] Degen, W.: Zur projektiven Differentialgeometrie der Flächen, die von einer einparametrigen Schar von Kegelschnitten erzeugt werden. Teil I. Math. Ann. 155 (1964). 1-34

[7] Degen, W.: Die zweifachen Blutelschen Kegelschnittflächen. manuscripta mathematica 55 (1986). 9-38

[8] Green, M. L.: The equations defining Chow-Varieties. Duke Mathematical Journal. Vol.53.3 (1986). 733-747

[9] Gröbner: Moderne algebraische Geometrie. Wien-Innsbruck. 1949. 211S.

[10] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. New York-Heidelberg-Berlin. 1977. 496S.

[11] Holme, A.: The Geometric and Numerical Properties of Duality in Projective Algebraic Geometry. manuscripta mathematica 61 (1988) 145-168.

[12] Jessop, C. M.: Quartik Surfaces with Singular Points. Cambridge. 1916. 197S.

[13] Kleiman, S. L.: Tangency and Duality. In: Proceedings of the 1984 Vancouver Conference in Algebraic Geometry 163-226. CMS Conference Proceedings. The American Mathematical Society. 1986

[14] Kummer, E.: Über die Flächen vierten Grades, auf welchen Schaaren von Kegelschnitten liegen. Jour. für reine und ang. Math. 64 (1865). 66-76 [15] Meyer, W. F.: Flächen vierter und höherer Ordnung. In: Enz. d. Math.

Wiss. Bd. III.2.2.B Leipzig 1921-1934. 1537-1786

[16] Salmon, G.: Analytische Geometrie des Raumes. Bd. II. Leipzig 1880. 686S.

[17] Segre, C.: Mehrdimensionale Räume. In Enz. d. Math. Wiss. Bd. III.2 Leipzig. 1921.1928. 772-975

[18] Segre, C.: Etude des diffrentes surfaces du 4^{e} ordre conique double ou cuspidale (gnrale ou dcompose) considres quadratiques de l’espace quatre dimensions. Math. Ann. 24 (1884). 313-444

[19] Semple; Kneebone: Algebraic projectiv geometry. Oxford. 1952.

[20] Severi; Löffler: Vorlesung über algebraische Geometrie. Leipzig–Berlin. 1921 408S.

[21] Shafarevich, I. R.: Basic Algebraic Geometry. Berlin-Heidelberg 1974. 439S.

[22] Todd, J. A.: Conics in Space and their Representation by points in Space of nineteen Dimensions. Proceedings of the London Math. Soc. 36 (1932). 173-206

[23] Urabe, T.: Classification of Non-normal Quartik Surfaces. Tokyo J. Math. Vol.9 No. 2 (1986). 265-295

[24] v.d. Waerden, B. L.: Einführung in die algebraische Geometrie. 2. Aufl. Berlin-Heidelberg. 1973. 280S.

[25] v.d. Waerden, B. L.: Zur algebraischen Geometrie. Selected Papers. Berlin, Heidelberg u.a. 1983. 479S.

[26] v.d. Waerden, B. L.: Moderne Algebra II. Berlin. 1931. 216S.

[27] Zariski, O.: Algebraic Surfaces. 2. ergänzte Auflage. Berlin-Heidelberg-New York. 1971. 270S.